25/09/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Introduzione al corso, terrorismo psicologico su come affrontare il corso di laurea in matematica, discorso motivazionale per le donne nella scienza, logistica e informazioni pratiche. I numeri naturali e gli assiomi di Peano.
29/09/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Relazioni, le funzioni come relazioni, relazioni di equivalenza, esempi. Classi di equivalenza, insieme quoziente, esempi. L'insieme dei numeri interi come quoziente, definizione dell'operazione di somma e prodotto tra interi. Definizione di anello.
01/10/2025 Aula F. Enriques 09:00 - 10:00
Intorno agli assiomi di anello e campo, conseguenze elementari su unicità di elemento neutro, opposto, ecc. Cosa vuol dire risolvere un'equazione di primo grado in un'incognita in un qualche "insieme di numeri". Esempi di campi finiti.
02/10/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Costruzione dell'anello degli interi modulo n. Esempi. Tale anello è un campo se e solo se n è primo. Caratteristica di un campo. Costruzione del campo dei numeri razionali.
06/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Generalità sui sistemi lineari a coefficienti in un campo. Matrice dei coefficienti, vettore delle incognite e dei termini noti, matrice completa, sistemi omogenei, soluzioni, compatibilità. Sistemi equivalenti, combinazione lineare di due equazioni di un sistema. Esempi. Matrici a scala, pivot, esempi. Il metodo di eliminazione di Gauss per ridurre a scala una matrice, applicazione al caso in cui la matrice in questione è la matrice completa di un sistema lineare. Osservazioni sul ruolo del numero di pivot rispetto al numero di incognite sull'insieme delle soluzioni.
08/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio n° 2.
09/10/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Un sistema quadrato con matrice dei coefficienti a scala ammette una e una sola soluzione se e solo se ha tanti pivot quante incognite. Esempio. Un sistema lineare a m equazioni e n incognite con coefficienti nel campo k tale che la sua matrice completa è a scala è compatibile se e solo se il numero di pivot r della matrice dei coefficienti è uguale al numero di pivot della matrice completa; inoltre, se compatibile, ha tante soluzioni quante k^{n-r}.
13/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Teorema di struttura per le soluzioni di un sistema lineare compatibile: sono tutte e solo quelle ottenute aggiungendo ad una soluzione particolare una qualunque soluzione del sistema lineare omogeneo associato. Polinomi a coefficienti in un campo come successioni definitivamente nulle a coefficienti nel campo. Operazione di somma e prodotto, grado, comportamento del grado rispetto a somma e prodotto, polinomi invertibili. Funzione polinomiale associata ad un polinomio, distinzione del caso di cardinalità finita o infinita del campo. Radici di un polinomio, divisione con resto tra polinomi (dimostrazione da riprendersi), conseguenze: Teorema di Ruffini, numero massimo di radici distinte di un polinomio non nullo.
15/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 2 e dal Foglio 3.
16/10/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Dimostrazione del teorema di divisione tra polinomi, esempio. Molteplicità di una radice, un polinomio di grado d ha al più d radici contate con molteplicità. Condizioni necessarie affinché un numero razionale sia radice di un polinomio a coefficienti interi. Esempio motivante per introdurre i numeri complessi: il campo Q(√2). Definizione del campo dei numeri complessi, inverso di un numero complesso non nullo, i numeri complessi estendono il campo dei numeri reali, enunciato del Teorema Fondamentale dell'Algebra.
20/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Ancora sul TFA, un polinomio complesso di grado non negativo ammette esattamente tante radici quanto è il suo grado, se contate con molteplicità. Parte reale e immaginaria, modulo, coniugio. Proprietà del coniugio rispetto alle operazioni, diseguaglianza triangolare. Rappresentazione polare, argomento, piano di Argand-Gauss, comprensione geometrica di somma e prodotto, potenze di un numero complesso, radici n-esime, formula di de Moivre, formula di n-uplicazione dell'angolo in goniometria. Esempi. Assiomatica di spazio vettoriale su un campo.
22/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 3.
23/10/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Esempi (tanti) di spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Esempi e non esempi di sottospazi vettoriali. Descrizione di tutti e soli i sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale dei vettori geometrici del piano.
27/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Altri esempi di sottospazi vettoriali. Intersezione arbitraria di sottospazi è un sottospazio. Combinazione lineare di un insieme finito di vettori, spazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Lo spazio generato da un sottoinsieme è il più piccolo sottospazio che lo contiene. Somma di sottospazi, l'intersezione di due sottospazi misura il difetto di unicità nella scrittura di un vettore nella loro somma. Esempi.
29/10/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 4.
30/10/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Nozione di dipendenza e indipendenza lineare per un sottoinsieme (arbitrario) di uno spazio vettoriale. Definizione di base, spazi vettoriali finitamente generati. Esempi e non esempi. Caratterizzazione di indipendenza lineare per un singoletto, per un insieme di due elementi, per un insieme finito. Un insieme finito è una base se e solo se ogni vettore può scriversi come combinazione lineare di suoi elementi in maniera unica. Un sottoinsieme linearmente indipendente resta tale dopo l'aggiunta di un vettore se e solo se questo vettore non appartiene allo spazio generato dal sottoinsieme. Lo spazio generato da un sottoinsieme non cambia aggiungendo un vettore al sottoinsieme se e solo se questo vettore appartiene a tale spazio generato.
03/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00 (esercitazioni 9:00-11:00)
Un insieme finito di generatori contiene una base. Un insieme linearmente indipendente di uno spazio vettoriale finitamente generato si può ampliare a una base finita. Ogni spazio vettoriale finitamente generato possiede una base. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale (resta da dimostrare l'equicardinalità delle basi). Formula di Grassmann. Un termine noto di un sistema lineare rende il sistema compatibile se e solo se appartiene allo spazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti. Base canonica di k^n, lo spazio k^n ha dimensione n. Come estrarre una base da un insieme finito di generatori usando l'eliminazione di Gauss. Esercizi vari dal Foglio 4.
06/11/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Un insieme finito di generatori ha sempre cardinalità non minore di un insieme finito e linearmente indipendente. Due basi finite di uno stesso spazio hanno la stessa cardinalità. Un insieme di generatori ha sempre cardinalità non inferiore alla dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato. Da un insieme di generatori di uno spazio vettoriale finitamente generato si può sempre estrarre un sottoinsieme di generatori finito. Conseguenze: ogni insieme di generatori di uno spazio vettoriale finitamente generato contiene una base finita, ogni insieme linearmente indipendente in uno spazio vettoriale finitamente generato è finito e si estende a una base finita, ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato è finita. Un insieme linearmente indipendente in uno spazio finitamente generato ha cardinalità non superiore alla dimensione dello spazio. Ogni sottospazio di uno spazio finitamente generato è finitamente generato. Se la somma delle dimensioni di due sottospazi eccede la dimensione dello spazio ambiente allora hanno intersezione non nulla. Uno spazio vettoriale è somma diretta di due suoi sottospazi se e solo se l'unione di loro basi fornisce una base per lo spazio ambiente.
11/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Definizione di applicazione lineare, molteplici esempi: applicazione nulla, identità, moltiplicazione di un vettore numerico per una matrice, proiezioni su un sottospazio parallelamente ad un suo addendo diretto, coordinate, derivata di un polinomio a coefficienti in un campo. Lo spazio delle applicazioni lineari da uno spazio vettoriale ad un altro è uno spazio vettoriale, relazione tra le proiezioni a ruoli dei sottospazi invertiti, il morifsmo canonico dalle matrici m x n alle applicazioni lineari da k^n a k^m è lineare. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare sono sottospazi, il trasformato di un insieme di generatori genera l'immagine, il trasformato di un insieme linearmente indipendente resta linearmente indipendente se il nucleo è banale. Rango e nullità, suriettività e iniettività in termini di rango e nullità. Enunciato del Teorema della Dimensione.
12/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dai Fogli 4 e 5.
13/11/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Composizione di applicazioni lineari è lineare, l'inversa di un'applicazione lineare biunivoca è lineare, restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio è un'applicazione lineare, idem se si restringe il codominio ove possibile. Endomorfismi, isomorfismi, ed automorfismi. Applicazione lineare associata ad un sottoinsieme finito di uno spazio vettoriale, proprietà di generazione e lineare indipendenza di tale sottoinsieme in termini di rango e nullità di questa applicazione lineare. L'immagine di un'applicazione lineare del tipo L_A è lo spazio generato dalle colonne della matrice, e il nucleo è lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax=0, inoltre Ax=b è compatibile se e solo se b appartiene all'immagine di L_A. Dimostrazione del Teorema della Dimensione, un applicazione lineare tra due spazi vettoriali della stessa dimensione è iniettiva se e solo se è suriettiva. Rango di una matrice, caratterizzazione in termini del massimo numero di colonne linearmente indipendenti nonché del numero di pivot di una qualunque riduzione a scala della matrice. Teorema Fondamentale delle Applicazioni Lineari, e conseguenza importante: ogni applicazione lineare da k^n a k^m è del tipo L_A; in particolare l'applicazione che associa ad ogni matrice A l'applicazione lineare L_A è un isomorfismo.
17/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Il prodotto righe per colonne tra matrici (di taglia opportuna), esempi. Struttura di anello non commutativo unitario sull'insieme delle matrici quadrate di taglia data. Il problema dell'invertibilità di una matrice quadrata, caratterizzazione in termini del rango, algoritmo per trovare la matrice inversa di una matrice invertibile, esempio. Come associare una matrice ad un operatore lineare fissata una base del dominio e una del codominio.
19/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 5.
20/11/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Isomorfismo (non canonico) tra lo spazio degli operatori lineari da uno spazio vettoriale ad un altro e lo spazio delle matrici (della giusta taglia), una volta fissate basi per dominio e codominio. La dimensione dello spazio degli operatori lineari da uno spazio vettoriale ad un altro è il prodotto delle dimensioni dei due spazi. Matrice del cambio di coordinate, il gruppo lineare GL(n,k). Matrice del cambio di coordinate inverso, e matrice del cambio di coordinate da una base ad un'altra, passando per ua terza base, esempi. Come cambia la matrice associata ad un operatore lineare se si cambiano le basi scelte per dominio e codominio.
24/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Esempi di scrittura di matrice associata ad un operatore lineare. Come utilizzare l amatrica associata per determinare nucelo e immagine. Endomorfismi, utilizzare stessa base in partenza e in arrivo, relazione di coniugio per le matrici quadrate. Forma canonica per matrici associate quando si è liberi di scegliere basi diverse in partenza e in arrivo: matrice a quattro blocchi con un blocco l'identità e il resto nullo. Rilassamento della richiesta quando vogliamo scegliere la stessa base i partenza e in arrivo: matrici diagonali. Autovettori, autovalori e spettro di un endomorfismo, endomorfismi diagonalizzabili. Esempi: operatore non diagonalizzabile su nessun campo, le rotazioni diverse da più o meno l'identità non sono diagonalizzabili come endomorfismi reali ma lo sono come endomorfismi complessi. Determinare gli autovettori di un endomorfismo equivale a determinarne lo spettro. Esempio: un endomorfismo di uno spazio vettoriale su un campo algebricamente chiuso ha spettro non vuoto.
26/11/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 5.
27/11/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Permutazioni, il gruppo simmetrico e la sua cardinalità, trasposizioni, segno di una permutazione. Definizione di determinante di una matrice quadrata, calcolo esplicito per matrici di ordine 2 e 3. Il determinante dell'identità vale 1, il determinante di una matrice con due righe uguali è zero, il determinante è lineare sulle righe di una matrice. Il determinante è una funzione omogenea di grado n^2 dove n è l'ordine della matrice su cui si applica, non è lineare rispetto alla somma di matrici. Una funzione dallo spazio delle matrici quadrate a valori nel campo tale che vale 1 sull'identità, vale 0 su una matrice con due righe uguali, ed è lineare sulle righe è necessariamente il determinante (dimostrazione da concludersi).
01/12/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Una funzione multilineare alternante cambia segno se si scambiano due ingressi, conclusione della dimostrazione dell'unicità della funzione determinante. Teorema di Binet e conseguenze notevoli: il determinante di un prodotto di matrici non dipende dall'ordine del prodotto, se una matrice è invertibile ha determinante diverso da zero e il determinante dell'ìinversa è l'inverso del determinante, matrici coniugate hanno lo stesso determinante. Determinante di un endomorfismo. Matrice dei cofattori e matrice aggiunta, esempi. Il prodotto di una matrice per la sua aggiunta dà l'identità moltiplicata per il determinante della matrice. Se una matrice ha determinante non nullo allora è invertibile e la sua inversa è data dalla sua aggiunta moltiplicata per l'inverso del determinante (la dimostrazione segue essenzialmente dallo sviluppo di Laplace). Sviluppo di Laplace per righe e per colonne (dimostrazione rinviata), esempi. Il determinante di una matrice è uguale al determinante della sua trasposta (dimostrazione da concludersi).
03/12/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 5 e del Foglio 6.
04/12/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Dimostrazione dello sviluppo di Laplace per il determinante, dimostrazione dell'uguaglianza del determinante di una matrice e della sua trasposta. Teorema di Cramer, esempio. Minori di una matrice, orlati di un minore, Teorema degli Orlati.
10/12/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 6.
11/12/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Riepilogo sui concetti di base intorno alla diagonalizzazione. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo: grado, coefficiente direttore, termine noto, e coefficiente di grado n-1. Il Teorema di Cayley-Hamilton, e caso esplicito per operatori diagonalizzabili.
15/12/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Esempio su come usare Cayley-Hamilton per trovare l'operatore inverso (in dimensione 2). Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori, la molteplicità algebrica è sempre maggiore o uguale a quella geometrica, esempio. Ad autovalorio distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo e per ognuno di essi molteplicità algebrica e geometrica coincidono. Se un endomorfismo ha tanti autovalori distinti quant'è la dimensione dello spazio vettoriale allora è diagonalizzabile. Esempio di diagonalizzazione, potenze di una matrice diagonalizzabile, accenno all'esponenziale di una matrice diagonalizzabile. Decomposizione spettrale, un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se lo spazio vettoriale è somma diretta dei suoi autospazi. Endomorfismi diagonalizzabili commutano se e solo se sono simultaneamente diagonalizzabili. Teorema di Struttura: un endomorfismo è diagnoalizzabile se e solo se è combinazione lineare di proiettori che commutano a due a due.
17/12/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 10:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 6.
18/12/2025 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00
Duale di uno spazio vettoriale, esempi. Base duale, lo spazio duale ha la stessa dimensione dello spazio. Coordinate di un vettore in una base utilizzando la base duale, e coordinate di un funzionale lineare in una base duale, utilizzando i vettori della base. Un vettore è nullo se e solo se annulla tutti i funzionali lineari di una base dello spazio duale. Isomorfismi (non canonici) tra uno spazio vettoriale e il suo duale, isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale e il suo biduale. Duale di un operatore lineare e sue proprietà: iniettività e suriettività in termini di suriettività e iniettività dell'operatore duale, relazione tra rango e nullità di un operatore e del suo duale, controvarianza della composizione, la matrice dell'operatore duale nelle basi duali è la trasposta della matrice dell'operatore nelle basi di partenza. Matrice del cambio di coordinate tra basi duali.
22/12/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Descrizione come restrizione della suriezione dal duale di uno spazio al duale di un suo sottospazio. Dimostrazione del lemma rimsato indimostrato per il Teorema degli Orlati. Corrispondenza di dualità da sottospazi di dimensione d di uno spazio vettoriale e sottospazi di codimensione d del suo duale: annullatore e zeri. Comportamento dell'annullatore e degli zeri rispetto all'inclusione, alla somma di sottospazi, e all'intersezione di sottospazi. Esempio su come trovare equazioni cartesiane per la somma di sottospazi descritti da equazioni cartesiane. Esercizio su come decomporre in somma pesata di proiettori commutanti un endomorfismo diagonalizzabile.
07/01/2026 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal foglio di esercizi per le vacanze.
08/01/2026 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
Esercizi vari dal Foglio 6 e dal foglio di esercizi per le vacanze.
12/01/2026 Aula F. Enriques 09:00 - 11:00
Lezione fuori programma d'esame: spazi vettoriali quoziente.
