Geometria 

A.A. 2017/2018

I semestre, 84 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto di circa 2:1) per fisici, canale A-C.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nota bene (prove scritte): durante le prove d'esame scritte sarà ammesso portare con sé un foglio formato A4, fronte-retro, in cui l'esaminando può scrivere ciò che ritiene più opportuno al fine dello svolgimento dello scritto stesso.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 13/11/2018 (appello straordinario), e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 17/09/2018, e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 09/07/2018, e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 25/06/2018, e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 06/02/2018, e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete invece il testo della prova scritta del 23/01/2018, e una possibile soluzione degli esercizi.

Cliccando qui troverete testo, soluzioni, e modalità di auto valutazione della prova auto valutativa di metà semestre del 24/11/2017.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Testi consigliati:

            ... o qualunque altro testo di algebra lineare e geometria.

            ... o qualunque altro eserciziario di algebra lineare e geometria.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Diario di bordo

26/09/2017 (Corso)

Introduzione generale agli argomenti che si tratteranno nel corso. 

Prime nozioni: insiemi, appartenenza, inclusione, intersezione, unione, differenza, prodotto cartesiano; funzioni, iniettività, suriettività, biettività; insiemi numerici, numeri naturali, interi, razionali, reali. La dimostrazione per assurdo, accenno della dimostrazione per induzione.

28/09/2017 (Corso)

Ripresa su funzioni, composizione, inversa e sulla dimostrazione per induzione. Accenni sulle permutazioni. Assiomatica e vari esempi di gruppi, anelli e campi. Accenni sui polinomi a coefficienti in un anello.

29/09/2017 (Corso)

I numeri complessi, definizione, prime proprietà, inverso, complesso coniugato, modulo, parte reale e parte immaginaria, argomento. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi, coordinate polari, interpretazione geometrica di somma e prodotto, potenze.

03/10/2017 (Esercitazione)

Esercizi elementari su funzioni ed insiemi. Radice n-esima di un numero complesso, primi esercizi sui numeri complessi.

05/10/2017 (Corso)

Ancora esercizi sui numeri complessi, vettori applicati nel piano e loro somma, accenni sui sistemi di riferimento affini nel piano e nello spazio.

06/10/2017 

Sospensione della didattica causa "Giornata delle matricole".

10/10/2017 (Corso)

Associatività della regola del parallelogramma, prodotto per uno scalare di un vettore applicato nel piano, assiomatica di spazio vettoriale, esempi. Esistenza ed unicità delle coordinate per i vettori applicati nel piano, riferimenti di coordinate affini nel piano. Definizione di applicazione lineare tra spazi vettoriali, isomorfismi.

12/10/2017 (Corso)

Isomorfismo tra la spazio dei vettori applicati e il corrispondete spazio di n-uple reali, equazioni parametriche di rette nel piano affine e di rette e piani nello spazio affine, traduzione analitica dell'intersezione tra rette nel piano.

13/10/2017 (Esercitazione)

Esercizi vari su intersezione di rette e piani, vettori geometrici, coordinate per vettori applicati nel piano e nello spazio.

17/10/2017 (Corso)

Definizione di sistema lineare, matrice dei coefficienti, vettore delle incognite e dei termini noti, soluzioni, definizione di matrice, matrice triangolare inferiore o superiore, diagonale. Un sistema triangolare superiore ammette una e una sola soluzione se e solo se i coefficienti sulla diagonale principale sono tutti non nulli.

19/10/2017 (Corso)

Equivalenza di sistemi lineari, combinazioni lineari di equazioni, eliminazione di Gauss, pivot, definizione di matrice singolare in termini dei pivot di una sua eliminazione di Gauss. 

20/10/2017 (Esercitazione)

Esercizi su sistemi lineare con e senza parametri, eliminazione di Gauss.

24/10/2017 (Corso)

Spazi vettoriali, sottospazi vettoriali, esempi, in particolare soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Combinazioni lineari, spazio generato, compatibilità di un sistema lineare in termini dello spazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti.

26/10/2017 (Corso)

Dipendenza e indipendenza lineare, esempi. Unicità della soluzione di un sistema lineare omogeneo in termini dell'indipendenza lineare delle colonne della matrice dei coefficienti. Definizione di base e coordinate.

27/10/2017 (Esercitazioni)

Esercizi su basi e generatori, descrizione dello spazio generato come intersezione di sottospazi.

31/10/2017 (Corso)

Spazi vettoriali finitamente generati, massimalità e basi, esistenza di basi per spazi vettoriali finitamente generati. Teorema del completamento:  enunciato ed inizio della dimostrazione. Prime conseguenze, definizione di dimensione.

02/11/2017 (Corso)

Teorema del completamento: fine della dimostrazione, ed altre conseguenze immediate. Somma di sottospazi, formula di Grassmann.

03/11/2017 (Esercitazioni)

Esercizi su estrazioni di basi, completamenti, intersezione e somma di sottospazi. Esercizi su come decidere se un sottoinsieme è un sottospazio.

07/11/2017 (Corso)

Somma diretta, sottospazio supplementare e sua esistenza. Teorema di struttura per le soluzioni di un sistema lineare non omogeneo. Richiamo della definizione di applicazione lineare, vari esempi.

09/11/2017 (Corso)

Immagine come spazio generato dai vettori immagine di una base, esistenza e unicità di un operatore lineare fissate le immagini di una base. Spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Nucleo e immagine come sottospazi vettoriali, rango. Teorema della dimensione, varie caratterizzazioni di iniettività e suriettività in termini di nucleo, immagine e rango.

10/11/2017 (Corso)

Teorema di Rouché-Capelli, decomposizione in somma diretta dello spazio dei vettori colonna come immagine più nucleo della trasposta per sottocampi dei reali (risp. dell'aggiunta per sottocampi dei complessi), uguaglianza tra rango di una matrice e della trasposta.

14/11/2017 (Corso)

Spazio duale e biduale, loro dimensione e costruzione di una base del duale data una base dello spazio di partenza. Teoria generale dei sistemi lineari rettangolari, invarianti in termine dei pivot, ricerca di colonne linearmente indipendenti. Esempi.

16/11/2017 (Corso)

Equazioni parametriche e cartesiane per sottospazi vettoriali, passaggio dalle une alle altre, esempi. Sottospazi affini, loro parallelismo, loro equazioni parametriche e cartesiane.

17/11/2017 (Esercitazioni)

Esercizi intorno alle equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali.

21/11/2017 (Corso)

Composizione di applicazioni lineari, struttura di anello unitario non commutativo sullo spazio delle applicazioni lineari, elementi invertibili, isomorfismi. Isomorfismo canonico tra lo spazio delle matrici (di taglia opportuna) e lo spazio delle applicazioni lineari tra spazi di vettori colonna a coefficienti in un campo. Prodotto di matrici.

23/11/2017 (Esercitazioni)

Esercizi di preparazione alla prova auto valutativa di metà semestre.

24/11/2017 (Prova auto valutativa di metà semestre)

28/11/2017 (Corso)

Struttura di anello unitario non commutativo dello spazio delle matrici quadrate di ordine fissato, matrici invertibili, prime proprietà. Caratterizzazioni varie dell'invertibilità, calcolo della matrice inversa tramite eliminazione di Gauss. 

30/11/2017 (Corso)

Matrice di cambiamento di base, matrice associata ad un'applicazione lineare, esempi. Isomorfismo non canonico tra lo spazio delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali e l'opportuno spazio di matrici.

01/12/2017 (Esercitazione)

Esercizi su potenze di matrici, sottospazi di spazi di matrici, cambio di coordinate, traccia di un prodotto di matrici.

05/12/2017 (Corso)

Cambiamento della matrice associata a un applicazione lineare al variare delle basi in partenza e in arrivo, matrici simili, classe di coniugio. Teorema di struttura per la matrice associata ad un'applicazione lineare.

07/12/2017 (Corso)

Introduzione ai determinanti: aree e volumi orientati, discussione delle proprietà di multilinearità e alternanza. Esempi in dimensione due e tre. Spazio vettoriale dei funzionali multilineari e alternanti in n variabili da uno spazio vettoriale di dimensione n nel suo campo base. Tale spazio ha dimensione al più uno.

12/12/2017 (Corso)

Riepilogo sullo spazio vettoriale dei funzionali multilineari e alternanti in n variabili da uno spazio vettoriale di dimensione n nel suo campo base, e sulla sua dimensione. Supponendo che esista una funzione determinante: esempi di calcolo usando l'eliminazione di Gauss, il determinante si annulla esattamente sulle matrici quadrate singolari, teorema di Binet e prime sue conseguenze (determinante dell'inversa, invarianza per coniugio).

14/12/2017 (Corso)

Richiami sul gruppo simmetrico, accenni id calcolo nel gruppo simmetrico. Scrittura di una permutazione come prodotto dei sui cicli disgiunti, scrittura di un ciclo come prodotto di trasposizioni. Definizione della funzione segno di una permutazione e dimostrazione della sua consistenza. Definizione della funzione determinante tramite permutazione, esempi, accenno allo sviluppo di Laplace.

15/12/2014 (Esercitazioni)

Esercizi vari sui determinanti.

19/12/2017 (Corso)

Sviluppo di Laplace per righe e colonne (dimostrazione solo in dimensione 3), il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice di partenza, minori, rango per minori, teorema degli orlati (senza dimostrazione).

21/12/2017 (Esercitazioni)

Ancora esercizi sui determinanti. Primi esercizi e formule generali di geometria affine nel piano e nello spazio affini reali.

22/12/2017 (Esercitazioni)

Esercizi vari di geometria affine nello spazio affine reale.

09/01/2018 (Corso)

Esempi di matrici coniugate o no ad una matrice diagonale sui reali, sui complessi, e su un campo arbitrario. Autovettori, autovalori, autospazi, spettro. Un operatore è diagonalizzabile se e solo se esiste una base composta da autovettori. Polinomio caratteristico, e sue prime proprietà.

11/01/2018 (Corso)

Richiami sui polinomi e sul teorema fondamentale dell'algebra. Un operatore diagonalizzabile ha tutti gli autovalori nel campo, e un operatore con tutti gli autovalori nel campo distinti è diagonalizzabile. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica degli autovalori, caratterizzazione degli operatori diagonalizzabili in termini di molteplicità algebrica e geometrica. Esempi.

12/01/2018 (Esercitazioni)

Esercizi su cambio di base, matrice associata e diagonalizzazione.

16/01/2018 (Corso)

Angoli e distanze in termini delle coordinate nello spazio vettoriale dei vettori applicati nel piano, assiomatizzazione. Forme bilineari, simmetriche, non degeneri, semidefinite e definite, esempi. Disuguaglianza di Chauchy-Schwarz.

17/01/2018 (Corso)

Matrice associata ad una forma bilineare in una data base, cambio di base, congruenza. Criteri di non degeneratezza e di (semi)positività/negatività per una forma bilineare in termini della matrice associata, accenno al Teorema di Sylvester. Esempi.

18/01/2018 (Esercitazioni)

Esercizi vari su forme bilineari, prodotti scalari. Esercizi generali di ripasso.