Geometria
A.A. 2019/2020
I semestre, 90 ore.
Corso ed esercitazioni (in rapporto di circa 2:1, le esercitazioni saranno tenute dal Prof. Paolo Bravi) per fisici, canale A-C.
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Esami in tempi di COVID.
La prova d'esame per la sessione autunnale si svolgerà in modalità telematica.
Ci sarà una prova scritta (più corta del normale, della durata di 1 ora e 30 minuti) a distanza, le cui regole saranno sostanzialmente quelle delle linee guida Sapienza, nella seguente declinazione: piattaforma di videocomunicazione Meet, esame scritto su carta tramite Exam.net.
Una volta chiuse le iscrizioni (due settimane prima della data dello scritto), contatterò gli iscritti per concordare una prova tecnica d'esame qualche giorno prima dello scritto vero e proprio.
L'orale sarà come al solito obbligatorio per gli scritti con voto maggiore di 25.
Il docente si riserva sempre e comunque il diritto di fare qualche domanda orale ai candidati al fine di verificare la bontà dello svolgimento della prova scritta.
I link fondamentali, da leggersi attentamente (come se fossero parte integrante del programma d'esame) prima di sostenere l'esame.
Decreto rettorale riguardante lo svolgimento degli esami scritti in modalità telematica (la parte importante comincia a pagina 6).
Informativa per lo studente riguardo lo svolgimento degli esami scritti in modalità telematica.
Si prega di prestare particolare attenzione alle seguenti problematiche:
Ricordarsi che le prenotazioni all'esame chiudono due settimane prima della data dello scritto: ora più che mai questo termine è improrogabile.
Comunicare con largo anticipo al docente se non si è in possesso di uno o più requisiti per sostenere l'esame come da linee guida qui sopra (ad es. se non si dispone di computer dotato di telecamera, microfono, altoparlante ed inoltre di uno smartphone dotato di telecamera, microfono, altoparlante e di un’app di lettura di QRcode, entrambi con connessione stabile ad internet tale da consentire lo svolgimento della prova).
Repetita iuvant: verificare per tempo di essere in possesso di uno smartphone che legga con successo i codici QR.
Attuare per tempo la procedura per la verifica dell'identità in segreteria.
Assicurarsi prima della prova scritta di aver disattivato dispositivi di salvaschermo e/o risparmio energetico sul computer con il quale si svolge la prova per evitare di interrompere la modalità tutto schermo di Exam.net.
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Testi consigliati:
M. Abate e C. De Fabritiis. "Geometria analitica 3/ed - Con elementi di algebra lineare".
... o qualunque altro testo di algebra lineare e geometria.
M. Abate e C. De Fabritiis. "Esercizi di geometria".
... o qualunque altro eserciziario di algebra lineare e geometria.
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Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 14/09/2020, con una possibile soluzione degli esercizi (a cura del Prof. Salvati Manni).
Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 13/07/2020, con una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 23/06/2020, con una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo d'esame (Compito A) del 04/02/2020, con una possibile soluzione degli esercizi (a cura del Prof. Piccinni).
Cliccando qui troverete il testo d'esame del 20/01/2020, con una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo della prova autovalutativa di metà semestre del 27/11/2019, una possibile soluzione e il modo per autoassegnarsi un voto.
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Diario di bordo
24/09/2019 (Corso)
Introduzione alla vita universitaria e alle modalità del corso. Introduzione all'algebra lineare, insiemi numerici, dimostrazione per assurdo, nozione di campo. Esempi non banali: campi finiti e i razionali estesi con la radice di due.
25/09/2019 (Corso)
Assiomatica di campo, esempi. La costruzione del campo dei numeri complessi.
26/09/2019 (Corso)
Polinomi a coefficienti in un campo, operazioni tra polinomi, funzioni polinomiali. Irriducibilità, divisione euclidea tra polinomi, Teorema di Ruffini.
27/09/2019 (Corso)
Alcune conseguenze del Teorema di Ruffini. Teorema Fondamentale dell'Algebra, completa fattorizzabilità dei polinomi a coefficienti complessi. I reali sono un sottocampo dei complessi. Numeri complessi: parte reale, parte immaginaria, modulo, coniugio, coordinate cartesiane e polari.
30/09/2019 (Corso)
Riepilogo su quanto fatto precedentemente sui numeri complessi. Formula di De Moivre, dimostrazione per induzione. Le n radici n-esime distinte di un numero complesso non nullo (dimostrazione rimandata alla lezione successiva), esempi.
01/10/2019 (Corso)
Dimostrazione del fatto che le radici n-esime distinte di un numero complesso non nullo sono esattamente n. Primi esempi/esercizi sui numeri complessi.
02/10/2019 (Corso)
Fattorizzazione dei polinomi complessi, e reali, un polinomio complesso a coefficienti reali ha radici complesse coniugate. Esempi. I vettori sulla retta e sul piano, regola del parallelogramma, moltiplicazione per uno scalare.
03/10/2019 (Corso)
Introduzione ai sistemi lineari: forma generale, matrice dei coefficienti, vettore delle incognite e dei termini noti, soluzioni, compatibilità, equivalenza. Operazioni elementari sulle equazioni per ottenere sistemi equivalenti. Esempi.
04/10/2019 (Corso)
Sistemi triangolari superiori, esistenza e unicità della soluzione per un sistema triangolare superiore con elementi sulla diagonale tutti non nulli. Eliminazione di Gauß, esempi.
08/10/2019 (Corso)
Riepilogo su quanto visto per i sistemi lineari. Somma e prodotto per uno scalare in k^n. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo: chiusura per somma e prodotto per uno scalare. Struttura dell'insieme delle soluzioni per un sistema lineare compatibile non omogeneo in termini dell'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Esempi.
09/10/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su sistemi lineari e numeri complessi.
11/10/2019 (Corso)
Definizione di spazio vettoriale su un campo k. Esempi (molti). Definizione di sottospazio vettoriale, esempi. Definizione di combinazione lineare e di spazio generato da un numero finito di vettori.
15/10/2019 (Corso)
Spazio generato da un insieme qualunque di vettori. Lo spazio generato da un insieme è il più piccolo sottospazio vettoriale che contiene l'insieme di partenza. Esempi. Un sistema lineare è compatibile se e solo se il vettore dei termini noti appartiene allo spazio generato dalle colonne della matrice. Insiemi linearmente dipendenti e indipendenti. Esempi. Un sistema lineare omogeneo ha la sola soluzione nulla se e solo se le colonne della matrice dei coefficienti formano un insieme linearmente indipendente.
16/10/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su dipendenza e indipendenza lineare, sottospazi.
18/10/2019 (Corso)
Insiemi di generatori, basi, esempi. Se uno spazio vettoriale su un campo k ammette una base finita composta da n elementi, allora è in biezione con k^n, coordinate di un vettore rispetto ad una base finita. Un insieme linearmente indipendente è una base se e solo se è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti.
22/10/2019 (Corso)
Spazi vettoriali finitamente generati: esistenza di basi finite, ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato è finita, un sistema finito di generatori ha almeno tanti elementi quanti quelli di un insieme linearmente indipendenti, ogni base finita ha lo stesso numero di elementi, dimensione. Teorema del Completamento, e conseguenza: se un insieme linearmente indipendente ha tanti elementi quanto è la dimensione dello spazio vettoriale allora è una base.
23/10/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su estrazione di basi, completamenti, e sottospazi.
25/10/2019 (Corso)
Un insieme costituito da più vettori che la dimensione dello spazio ambiente è linearmente dipendente, un sottospazio di uno spazio finitamente generato è finitamente generato, e dunque ha dimensione al più la dimensione dello spazio. Se un sottospazio ha la stessa dimensione dello spazio ambiente allora è lo spazio ambiente. Somma e intersezione di sottospazi, Formula di Grassmann, somma diretta, esistenza del complementare di un sottospazio.
29/10/2019 (Corso)
Applicazioni lineari, definizione, esempi e non esempi. Esistenza e unicità di un'applicazione lineare fissati i suoi valori su una base. Definizione di nucleo e immagine.
30/10/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su coordinate, estrazione di basi, somma e intersezione.
05/11/2019 (Corso)
Nucleo e immagine sono sottospazi, definizione di rango, Teorema della Dimensione, Teorema di Rouché-Capelli. Il numero di pivot di una riduzione a scala è uguale al rango della matrice di partenza, ed è pertanto indipendente dalla riduzione effettuata. Struttura di spazio vettoriale sull'insieme della applicazioni lineari, spazio duale.
06/11/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su applicazioni lineari, nucleo, immagine.
08/11/2019 (Corso)
Composizione di applicazioni lineari, inversa, isomorfismi, esempi. Lo spazio delle matrici è isomorfo allo spazio della applicazioni lineari. Prodotto tra matrici, definizione, prime proprietà, esempi.
12/11/2019 (Corso)
Regola per la trasposizione di un prodotto. Matrice inversa, sua unicità, gruppo lineare. Inversa dell'inversa, di un prodotto, della trasposta. Esempi. Diverse caratterizzazioni dell'invertibilità.
13/11/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari sul calcolo dell'inversa, e sul rango.
15/11/2019 (Esercitazioni)
Esercizi su applicazioni lineari, in particolare proiezioni su un sottospazio lungo un altro di cui è supplementare.
19/11/2019 (Corso)
Cambiamenti di coordinate e matrici ad essi associate, esempi. Matrice associata ad un'applicazione lineare fissate basi in partenza ed arrivo.
20/11/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi su proiezioni parallele, matrici di cambiamento di coordinate, e matrici associate.
22/11/2019 (Corso)
Ancora su matrici associate a trasformazioni lineari, cambio di base in partenza e in arrivo, forma canonica, esempi. Isomorfismo tra operatori lineari e matrici. Endomorfismi, cambio di coordinate usando la stessa base in partenza e in arrivo, coniugio, le orbite del coniugio rappresentano lo stesso endomorfismo in basi differenti.
26/11/2019 (Corso)
Spazi duali, esempi di funzionali lineari. Applicazione lineare duale di un'applicazione lineare. Isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione finita e il suo duale, basi duali. Enunciati: la matrice associata all'applicazione lineare duale rispetto alle basi duali è la trasposta, la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare duale è la stessa dell'applicazione lineare di partenza. Corollario: il rango di una matrice è uguale al rango della sua trasposta.
27/11/2019 (Prova autovalutativa di metà semestre - Bravi)
29/11/2019 (Corso - sostituzione Bravi)
Assiomatica del determinante, esempi, significato geometrico. Determinante ed Eliminazione di Gauss, caratterizzazione delle matrici non singolari in termini del determinante.
03/12/2019 (Corso)
Dimostrazione degli enunciati non dimostrati durante la lezione del 26/11/2019 su matrici e applicazioni duali. Esempi. Rapido riepilogo sul determinante e sui volumi orientati, sviluppo di Laplace del determinante per riga e per colonna, una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante. Esempi.
04/12/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su matrici associate ad operatori lineari in diverse basi, e determinanti.
06/12/2019 (Corso)
Formula di Binet, e alcune conseguenze: determinante dell'inversa, invarianza per coniugio del determinante, determinante di un endomorfismo, Teorema di Cramer. Diagonalizzazione: autovettori e autovalori, autospazi, un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se esiste una base costituita da autovettori.
10/12/219 (Corso)
Polinomio caratteristico di un endomorfismo, traccia di un endomorfismo. Ad autovalori distinti corrispondono autovalori indipendenti. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, e diseguaglianza tra le due (senza dimostrazione). Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo e le molteplicità algebriche e geometriche si corrispondono (dimostrazione posposta).
11/12/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su diagonalizzazione.
17/12/2019 (Corso)
Dimostrazione della diseguaglianza tra molteplicità geometria e algebrica di un autovalore, dimostrazione del teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità. Forme bilineari, esempi, forme bilineari simmetriche, nucleo di una forma bilineare simmetrica, forme bilineari simmetriche non degeneri. Esempi: prodotto scalare canonico, prodotto di valutazioni di polinomi, prodotto L^2, spazio tempo di Minkowsky.
18/12/2019 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su diagonalizzazione, potenze di matrici, esponenziale, rotazioni e riflessioni.
20/12/2019 (Corso)
Forme sesquilineari e forme hermitiane. Prodotti scalari (o forme hermitiane) definite, semidefinite, indefinite. Spazi vettoriali euclidei. Norma, distanza, Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, coseno dell'angolo tra due vettori. Esempi. Matrice associata a una forma bilineare, basi ortogonali e ortonormali, cambiamento di base, congruenza.
07/01/2020 (Corso)
Esistenza di basi ortogonali per una forma bilineare simmetrica e per una forma hermitiana, esempio. Esistenza di basi ortonormali per un prodotto scalare/hermitiano definito positivo, accenno al Procedimento di Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Operatori autoaggiunti e isometrie lineari in spazi vettoriali euclidei/hermitiani. Esempi: rotazioni, matrici simmetriche/hermitiane, derivata seconda e prodotto L^2.
08/01/2020 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari su basi ortogonali, ortogonalizzazione, proiezioni ortogonali.
10/01/2020 (Corso)
Invertibilità delle isometrie lineari, caratterizzazione degli operatori autoaggiunti e delle isometrie lineari in termini di matrici associate. Esempio: O(2,R). Caratterizzazione di prodotti scalari (risp. hermitiani) definiti positivi. Tre enunciati del Teorema Spettrale su R e su C: per prodotti scalari (risp. hermitiani), per operatori autoaggiunti, e per matrici simmetriche (risp. hermitiane). Equivalenza dei tre enunciati.
14/01/2020 (Corso)
Completamento della dimostrazione dell'equivalenza fra gli enunciati del Teorema Spettrale: come associare a un prodotto scalare (risp. hermitiano) un operatore autoaggiunto. Dimostrazione del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti su uno spazio vettoriale hermitiano. Idea della dimostrazione variazionale dell'esistenza di un autovalore per operatori autoaggiunti reali.
15/01/2020 (Esercitazioni - Bravi)
Esercizi vari intorno al Teorema Spettrale.
17/01/2020 (Corso)
Enunciato del Teorema Spettrale per operatori normali. Definizione di prodotto wedge in uno spazio vettoriale euclideo orientato, l'esempio di R^3, calcolo attraverso la formula determinantale. Struttura delle matrici ortogonali speciali in dimensione 3. Il prodotto wedge come generatore infinitesimale di una rotazione.