Geometria

A.A. 2021/2022

I semestre, 60 ore (parte teorica), per fisici, canale A-De.

Le 30 ore di esercitazioni saranno tenute dal Prof. Paolo Bravi.

Modalità logistiche d'esame

La prova scritta d'esame è in presenza. 

Gli iscritti ai vari appelli riceveranno a tempo debito una email sull'indirizzo di posta istituzionale con le informazioni per la convocazione (aula, orari, ecc...).

Durante la prova scritta è indispensabile essere muniti di un documento di identità (con fotografia) nonché di certificazione verde (base), entrambi in corso di validità, che saranno controllati al momento dell'ingresso in aula.

Si può portare con sé: la/le penna/e, eventualmente acqua e snack, e un foglio bianco formato A4 con scritto sopra (a mano o stampato) fronte-retro qualunque cosa riteniate opportuno vi possa aiutare (formule, esempi, enunciati, ecc...). Non è ammesso portare con sé altro.

Suggerisco l'uso della mascherina di tipo FFP2.

Chi ottiene alla prova scritta un voto superiore o uguale a 26 dovrà obbligatoriamente svolgere la prova orale. 

Chi riporta una votazione compresa tra il 18 e il 25 può decidere di sostenere la prova orale, o di verbalizzare il voto ottenuto allo scritto. 

Mi riservo comunque il diritto di poter fare qualche domanda (unicamente inerente allo svolgimento della prova scritta) anche a chi ha riportato una votazione compresa tra il 18 e il 25 alla prova scritta.

Chi riporta una votazione inferiore a 18 alla prova scritta è invece bocciato.

Importante. Se siete esenti dalla vaccinazione anti Covid-19 o nella categoria degli studenti fragili, oppure se nei giorni immediatamente precedenti alla prova scritta (ivi compresa la mattina stessa dello scritto) doveste rendervi conto che non potrete partecipare alla prova scritta in presenza perché in isolamento o in quarantena, vi prego di contattarmi immediatamente per email. 

Per ovvi motivi di privacy, non siete tenuti a dirmi (né voglio sapere) per quale ragione non potete partecipare alla prova scritta, ma dovrete dichiarare esplicitamente di rientrare in una delle categorie previste: studenti fragili, in isolamento, in quarantena, o esenti dalla vaccinazione anti Covid-19, consci del fatto che dichiarare il falso ad un pubblico ufficiale (nella fattispecie io in qualità di commissario d'esame) è reato (Art. 495 Codice Penale).

Per coloro i quali non potranno partecipare alla prova scritta in presenza per i motivi di cui sopra, ma che vogliono comunque sostenere l'esame in questo appello, ci metteremo d'accordo per sostenere un esame alternativo nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta.

Tale esame si svolgerà come segue. Si tratterà di una prova unicamente orale (da remoto se i motivi continuano a sussistere, oppure in presenza se i motivi cessano di sussistere) in cui vi farò svolgere uno o due esercizi dal vivo in diretta, e in cui le domande verteranno unicamente sullo svolgimento degli esercizi stessi (cioè, una sorta di prova scritta ma in versione orale). 

Al termine di questa prima parte vi assegnerò un voto, e a quel punto varranno le regole come per la prova scritta in presenza. 

In particolare, se il voto sarà maggiore o uguale a 26, procederemo direttamente con la prova orale vera e propria; se il voto sarà compreso tra 18 e 25 potrete decidere se verbalizzarlo direttamente o fare comunque la prova orale, e se il voto è inferiore a 18 l'esame non sarà valido.

In bocca al lupo a tutti!

Tutoraggi

I tutoraggi continueranno fino alla fine della sessione estiva 2021/22 in modalità "sportello" (ricevimento su appuntamento) con il tutore

Giovanni Mirarchi    giovanni.mirarchi@uniroma1.it

Lezioni al tempo del COVID

In linea di principio il corso si svolgerà in modalità "blended", una sapiente e antica miscela di didattica frontale in presenza e telematica.

La trasmissione telematica delle lezioni avverrà tramite la piattaforma Google Meet.

Per collegarsi, usare il proprio indirizzo email istituzionale, e cliccare all'URL

http://meet.google.com/qhf-ypwj-wym

sia per la parte teorica che per le esercitazioni (tenute come detto sopra dal Prof. Paolo Bravi).

Testi consigliati

• M. Abate e C. De Fabritiis. "Geometria analitica 3/ed - Con elementi di algebra lineare". 

            ... o qualunque altro testo di algebra lineare e geometria.

• M. Abate e C. De Fabritiis. "Esercizi di geometria", II edizione.

            ... o qualunque altro eserciziario di algebra lineare e geometria.

Appelli d'esame

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 03/11/2022, con una proposta di soluzioni.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 13/09/2022, con una proposta di soluzioni.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 11/07/2022, con una proposta di soluzioni.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 15/06/2022, con una proposta di soluzioni.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 09/02/2022, e cliccando qui una proposta di soluzioni.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 24/01/2022, e cliccando qui una proposta di soluzioni.

Prova auto-valutativa di metà semestre

Cliccando qui, troverete il testo della prova, nonché le istruzioni per auto-assegnarsi un voto, nonché una possibile soluzione degli esercizi.

Alla data del 4 dicembre 2021 hanno sostenuto la prova auto-valutativa 41 studenti (dunque circa il 41% del totale de canale).

Il voto medio è stato 21,73.

Il voto mediano è stato 24.

La percentuale dei compiti sufficienti tra quelli consegnati è 78,05%, mentre tra il totale degli studenti del canale (stimati in numero di 100) è 32,00%.

La percentuale dei compiti con voto >24 tra quelli consegnati è 41,46%, mentre tra il totale degli studenti del canale (stimati in numero di 100) è 17,00%.

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi sui numeri complessi.

• Foglio di esercizi sui sistemi lineari.

• Foglio di esercizi sugli spazi vettoriali.

• Foglio di esercizi sulle applicazioni lineari.

• Foglio di esercizi su invertibilità, cambiamenti di coordinate, e determinanti.

• Foglio di esercizi sulla diagonalizzazione.

• Foglio di esercizi sulle forme bilineari.

• Foglio di esercizi per le Vacanze di Natale: forme sesquilineari e hermitiane.

• Foglio di esercizi sul Teorema Spettrale e dintorni.

Diario di bordo

23/09/2021 (Corso) Aula 3, 12:15 - 13:00

Benvenuto, e spiegazione generale sulla logistica della vita universitaria: esami, ricevimento, esoneri, orari, ecc.

24/09/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Verso l'assiomatica di campo: numeri naturali, interi, razionali e reali. Operazioni di somma e prodotto su questi insiemi. Funzioni: iniettività, suriettività, immagine. Dimostrazione per assurdo e per contrapposizione. Irrazionalità della radice di un primo.

28/09/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Assiomi di campo, e deduzione di alcune prime proprietà. Primi esempi di campo: qualche campo finito, i razionali, i reali, i razionali estesi con la radice di 2, nozione di sottocampo.

30/09/2021 (Corso) Aula 3, 12:15 - 13:00

Costruzione astratta di Q(√2) come motivazione per la costruzione astratta del campo dei numeri complessi. Costruzione del campo dei numeri complessi.

01/10/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

I numeri complessi, parte reale e immaginaria, modulo, argomento (principale), coniugio, coordinate polari, proprietà. Interpretazione geometrica dei numeri complessi e delle loro operazioni. Potenza intera di un numero complesso in coordinate polari, applicazione: formula di n-uplicazione di seno e coseno.

05/10/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Radice n-esima di un numero complesso, ogni numero complesso non nullo ammette esattamente n radici n-esime distinte. Esempi, interpretazione geometrica. Primi cenni su polinomi e loro fattorizzazione.

08/10/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Polinomi a coefficienti in un campo, definizione informale e formale. Funzioni polinomiali. Divisione euclidea tra polinomi, irriducibilità, radice di un polinomio, Teorema di Ruffini. Esempi. Criterio per la ricerca di una radice razionale di un polinomio a coefficienti interi. Enunciato del Teorema Fondamentale dell'Algebra, ogni polinomio a coefficienti complessi di grado non zero si spezza come prodotto di polinomi di grado uno, i polinomi a coefficienti complessi irriducibili sono esattamente quelli di grado zero e grado uno.

12/10/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Studio delle radici complesse di un polinomio a coefficienti reali, determinazione dei polinomi reali irriducibili. Molteplicità di una radice. Introduzione ai sistemi lineari a coefficienti in un campo.

15/10/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Sistemi lineari a coefficienti in un campo, nomenklatura: matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti e delle incognite, soluzioni, compatibilità, sistemi omogenei e non, sistemi equivalenti. Esempi. Equivalenza di due sistemi lineari per il quale il secondo è ottenuto dal primo per combinazione lineare di due equazioni.

19/10/2021 (Corso) Aula 3 , 10:15 - 12:00

Esempi di sistemi lineari. Matrici quadrate triangolari superiori, matrici quadrate triangolari superiori non singolari, matrice completa di un sistema lineare. Un sistema lineare quadrato triangolare superiore ammette una e una sola soluzione se e solo se è non singolare. Matrici a scala, eliminazione di Gauss. Risoluzione di un sistema lineare tramite eliminazione di Gauss.

22/10/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Assiomatica di spazio vettoriale su un campo, e derivazione di alcune prime conseguenze formali. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio vettoriale banale, lo spazio vettoriale dei vettori applicati nel piano e nello spazio euclideo, lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti in un campo (e i casi particolari di un campo come spazio vettoriale su se stesso, lo spazio vettoriale delle n-uple di elementi di un campo), lo spazio dei polinomi a coefficienti in un campo, lo spazio vettoriale delle funzioni da un insieme non vuoto verso uno spazio vettoriale (e i casi particolari delle funzioni reali di variabile reale, e delle successioni infinite di elementi di un campo), un campo visto come spazio vettoriale su un suo sottocampo.

26/10/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Definizione di sottospazio vettoriale, definizione di combinazione lineare di un insieme finito di vettori, definizione di spazio generato da un insieme  finito di vettori (eventualmente vuoto). Classificazione dei sottospazi vettoriali dello spazio vettoriale dei vettori applicati nel piano e nello spazio euclideo. Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo a n incognite è un sottospazio vettoriale di k^n. Un sistema lineare è compatibile se e solo se il vettore dei termini noti appartiene allo spazio generato dalle colonne della matrice dei coefficienti. Altri esempi di sottospazi vettoriali: i polinomi di una variabile a coefficienti in un campo di grado minore o uguale ad un numero naturale dato, le matrici quadrate a traccia nulla, le funzioni da un insieme non vuoto ad uno spazio vettoriale che si annullano quando valutate su un elemento dato nell'insieme di partenza.

27/10/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Definizione di insieme linearmente indipendente, prime proprietà. Caratterizzazione di insiemi linearmente dipendenti. L'indipendenza lineare dell'insieme delle colonne di una matrice in termini di unicità delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Esempi. Definizione di base, esempi (tra cui la base canonica di k^n).

02/11/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Un insieme finito linearmente indipendente non ha più elementi di un insieme finito che genera. Equicardinalità delle basi. Spazi vettoriali finitamente generati, ed esempi di spazi vettoriali non finitamente generati. Ogni spazio vettoriale (finitamente generato) ammette una base: da ogni insieme finito di generatori è sempre possibile estrarre una base. Dimensione di uno spazio vettoriale. Ogni sottoinsieme linearmente indipendente di uno spazio vettoriale finitamente generato può essere completato ad una base, scegliendo i vettori che vanno a completare da un arbitrario insieme di generatori.

05/11/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Dimostrazione del fatto che ogni sottoinsieme linearmente indipendente di uno spazio vettoriale finitamente generato può essere completato ad una base, scegliendo i vettori che vanno a completare da un arbitrario insieme di generatori. Come estrarre una base da un sistema di generatori e come completare un insieme linearmente indipendente ad una base in k^n usando il metodo dell'eliminazione di Gauss. Rango di una matrice. Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale finitamente generato è finitamente generato, e la sua dimensione non è superiore a quella dello spazio ambiente, con uguaglianza delle dimensioni se e solo se i due spazi coincidono.

09/11/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Somma e intersezione di sottospazi. La somma di due sottospazio è il più piccolo sottospazio che contiene l'unione. Esempi. Enunciato della Formula di Grassmann, illustrazione e corollari. Somma diretta, e sua caratterizzazione in termini di unicità della scrittura di un qualunque vettore come somma. Esempio di come trovare basi per somma e intersezione.

12/11/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Dimostrazione della Formula di Grassmann. Applicazioni lineari, definizione, esempi: l'applicazione nulla, l'identità, l'applicazione associata ad una matrice. Prime proprietà: applicazioni lineari mandano il vettore nullo nel vettore nullo, l'immagine e il nucleo sono sottospazi, l'iniettività è equivalente ad avere nucleo nullo, generatori vengono trasformati in generatori per l'immagine, un insieme linearmente indipendente viene trasformato in un insieme linearmente indipendente da un operatore lineare iniettivo. L'inverso di un operatore lineare è lineare, la composizione di operatori lineari è lineare. Applicazione lineare associata ad un sottoinsieme finito di uno spazio vettoriale: tale applicazione è suriettiva se e solo se l'insieme genera, ed è iniettiva se e solo se l'insieme è linearmente indipendente. Coordinate in una base date.

16/11/2021 (Corso) Aula 3 , 10:15 - 12:00

Ancora sulle coordinate associate ad una base, esempi, calcoli in coordinate, come trovare un sistema lineare omogeneo le cui soluzioni sono lo spazio generato da un insieme finito. Esistenza ed unicità di un'applicazione lineare data assegnando i valori su una base (solo enunciato), conseguenze: due applicazioni lineari che coincidono su una base sono uguali, isomorfismo tra lo spazio delle matrici a m righe ed n colonne a coefficienti in un campo e lo spazio delle applicazioni lineari da k^n a k^m. Proiezione su un sottospazio parallelamente ad un suo supplementare.

19/11/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Dimostrazione dell'esistenza ed unicità di un'applicazione lineare data assegnando i valori su una base, Teorema della Dimensione, e conseguenze (iniettività e suriettività in base al rango), Teorema di Rouché-Capelli. Sottospazi affini, sottospazio di giacitura, la preimmagine di un vettore tramite un'applicazione lineare è un sottospazio affine. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo.

23/11/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da uno spazio vettoriale ad un altro, definito sullo stessa campo. Lo spazio vettoriale duale (solo definizione). Come associare un'applicazione lineare ad una matrice (della taglia opportuna) fissata una base dello spazio di partenza ed una di quello di arrivo. Come associare una matrice (della taglia opportuna) ad un'applicazione lineare, fissata una base dello spazio di partenza ed una di quello di arrivo. Isomorfismo (non canonico) tra lo spazio delle matrici (di taglia opportuna) e lo spazio delle applicazioni lineari da uno spazio vettoriale ad un altro, definito sullo stessa campo. Esempi, calcoli in coordinate. Definizione di prodotto tra matrici, mutuato dal prodotto di composizione di operatori lineari.

26/11/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Algebra delle matrici quadrate: elemento neutro rispetto al prodotto, matrici invertibili, unicità dell'inversa, il prodotto di matrici invertibili è invertibile, l'inversa di una matrice invertibile è invertibile, una matrice è invertibile se e solo se l'operatore lineare ad essa associato è un isomorfismo. Descrizione delle matrici invertibili 2x2. Determinazione dell'invertibilità e della matrice inversa mediante doppia eliminazione di Gauss. Soluzione di un sistema quadrato non singolare in termini dell'inversa della matrice dei coefficienti.

Per gli appunti della lezione, cliccare qui.

30/11/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Riepilogo sulla struttura di algebra delle matrici quadrate, gruppo generale lineare. Matrice del cambio di coordinate, come cambia la matrice associata ad un'applicazione lineare quando si cambiano base in partenza e/o in arrivo. Esempi espliciti e trucchetti vari per determinare la matrice del cambio di coordinate, e per passare dalla matrice associata ad un'applicazione lineare in varie basi.

03/12/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Determinante di una matrice quadrata di ordine 2, estrazione delle proprietà assiomatiche del determinante, e conseguenze di tali proprietà. Esistenza per matrici quadrate di ordine 3. Determinante di una matrice diagonale, e di una matrice triangolare superiore, determinante di una matrice espresso in funzione di una sua riduzione a scala, unicità del determinante. Sviluppo di Laplace lungo una riga o una colonna.

07/12/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Il determinante di una matrice è uguale al determinante della trasposta. Teorema di Binet, e conseguenze: determinante della matrice inversa, determinante di un endomorfismo, Teorema di Cramer, rango per minori, Teorema degli Orlati. Dimostrazione del Teorema di Binet (dettagli da verificarsi per esercizio).

10/12/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Il problema della diagonalizzazione di un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione n. Autovettori ed autovalori di un endomorfismo, autospazi, endomorfismi diagonalizzabili. Esempio di endomorfismo non diagonalizzabile. Spettro di un endomorfismo, polinomio caratteristico di un endomorfismo. Il polinomio caratteristico ha grado esattamente n, il suo termine noto è il determinante dell'endomorfismo, il suo termine di grado n-1 è (a meno del segno) la traccia dell'endomorfismo. Esempi su R^2.

14/12/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti. Endomorfismi con tutti gli autovalori nel campo, loro traccia e determinante, esempi. Un endomorfismo diagonalizzabile ha tutti gli autovalori nel campo. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore, gli autovalori di un endomorfismo diagonalizzabile hanno stessa molteplicità algebrica e geometrica. La molteplicità geometrica è sempre inferiore o uguale alla molteplicità algebrica. Criterio di diagonalizzabilità: un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se ha tutti gli autovalori nel campo e per ogni autovalore la molteplicità algebrica coincide con quella geometria, e ciò accade se e solo se la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è uguale alla dimensione dello spazio.

16/12/2021 (Corso) Aula 3, 08:15 - 10:00

Il prodotto scalare in V_0^2 (e V_0^3). Sua espressione in coordinate rispetto ad una base di versori ortogonali. Forme bilineari su uno spazio vettoriale, forme bilineari simmetriche. Esempi: forme bilineari in k^n associate ad una matrice quadrata, loro simmetria in termini della simmetria della matrice. Matrice associata ad una forma bilineare data una base dello spazio vettoriale. Forma bilineare associata ad una matrice data una base dello spazio vettoriale. Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la sua matrice associata in una qualunque base è simmetrica. 

17/12/2021 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00; (Esercitazioni) Aula 3, 11:15 - 12:00

Cambiamento di base e forme bilineari, congruenza, il rango è un invariante per congruenza. Matrici ortogonali. Rango di una forma bilineare, forme bilineari degeneri e non degeneri, ortogonale di un sottospazio rispetto ad una forma bilineare, nucleo di una forma bilineare, basi ortogonali rispetto a una forma bilineare. Esistenza di basi ortogonali per una forma bilineare definita su di uno spazio vettoriale su un campo di caratteristica diversa da 2.

21/12/2021 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Esempi su come trovare concretamente basi b-ortogonali. Come si comporta la proprietà di essere (non) degenere per passaggio a sottospazio: non bene. Se la restrizione di una forma bilineare simmetrica a un sottospazio è non degenere, allora (se la caratteristica del campo è diversa da 2) l'ortogonale del sottospazio fornisce un supplementare. Proiezioni b-ortogonali su un sottospazio la restrizione di b al quale è non degenere. Esempio esplicito di proiezione b-ortogonale. Le proiezioni b-ortogonali sono b-autoaggiunte. Espressione delle coordinate di un vettore rispetto ad una base b-ortogonale per una forma b non degenere. Enunciato del Teorema di Sylvester.

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11/01/2022 (Corso) Aula 3, 09:15 - 11:00

Il Teorema di Sylvester vale anche per prodotti hermitiani. Nozione di prodotto scalare/hermitiano (semi)definito e indefinito, caratterizzazione in termini della segnatura. Spazi vettoriali euclidei/hermitiani, procedimento di ortogonalizzazione e ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Norma di un vettore, sua interpretazione come una lunghezza. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Esempi.

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12/01/2022 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Definizione di coseno dell'angolo formato da due vettori non nulli, diseguaglianza triangolare. Operatori autoaggiunti: definizione, caratterizzazione matriciale. Gli operatori autoaggiunti formano uno spazio vettoriale reale, esempio: combinazioni lineari reali di proiettori ortogonali sono operatori autoaggiunti. Un operatore autoaggiunto ha spettro reale, ed inoltre ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali. Esempio esplicito: un operatore autoaggiunto su uno spazio vettoriale di dimensione due ammette sempre una base ortonormale di autovettori. Enunciato del Teorema Spettrale e conseguenza: un operatore è autoaggiunto se e solo se è una combinazione lineare reale di proiettori ortogonali che proiettano su sottospazi che decompongono lo spazio di partenza in somma diretta ortogonale.

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13/01/2022 (Corso) Aula 3, 10:15 - 12:00

Se un operatore autoaggiunto manda un sottospazio in sé, allora manda anche l'ortogonale in sé. Dimostrazione del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti, prima nel caso complesso poi reale. Dimostrazione del Teorema Spettrale per matrici. Una matrice è ortogonale (risp. unitaria) se e solo se è la matrice del cambio di coordinate tra due basi ortonormali (risp. unitarie). Applicazione: per determinare la segnatura di un prodotto scalare/hermitiano è sufficiente determinare il segno e la molteplicità algebrica degli autovalori di un certo operatore lineare ad esso associato, Regola di Cartesio. Esempi.

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14/01/2022 (Corso) Aula 3, 11:15 - 12:00

Gran finale (fuori programma d'esame).

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