Geometria algebrica

A.A. 2022/2023

II semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile) per matematici.

Testi consigliati & bibliografia

• A. Gathmann; "Algebraic Geometry".

• A. Gathmann; "Commutative Algebra".

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald; "Introduction to Commutative Algebra".

• D. Allcock; "Hilbert's Nullstellensatz".

• I. R. Shafarevich; "Basic Algebraic Geometry 1. Varieties in Projective Space". 

• K. Hulek; "Elementary Algebraic Geometry".

• K. E. Smith, L. Kahanpää, P. Kekäläinen, W. Traves; "An Invitation to Algebraic Geometry".

• M. Reid; "Undergraduate Algebraic Geometry".

• R. Hartshorne; "Algebraic Geometry".

• R. Miranda; "Algebraic Curves and Riemann Surfaces".

• Q. Liu; "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves".

• J. S. Milne; "Algebraic Geometry".

Prove d'esame

• Primo appello, sessione estiva, 13/06/2023. Cliccando qui troverete il testo d'esame con una proposta di soluzioni.

• Secondo appello, sessione estiva, 04/07/2023. Cliccando qui troverete il testo d'esame con una proposta di soluzioni.

• Primo appello, sessione autunnale, 08/09/2023. Cliccando qui troverete il testo d'esame con una proposta di soluzioni. 

• Secondo appello, sessione autunnale, 20/09/2023. Cliccando qui troverete il testo d'esame con una proposta di soluzioni. 

• Appello unico, sessione invernale, 24/01/2023. Cliccando qui troverete il testo d'esame con una proposta di soluzioni. 

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1.

• Foglio di esercizi n° 2.

• Foglio di esercizi n° 3.

• Foglio di esercizi n° 4.

• Foglio di esercizi n° 5.

• Foglio di esercizi n° 6.

Diario di bordo

1. 01/03/2023, 16:00 - 18:00. (Troppo?) Lunga introduzione al corso, alle tematiche, modalità d'esame, ecc. Notazioni, il radicale di un ideale l'intersezione dei primi che lo contengono. Definizione di varietà affine, unione finita e intersezione qualunque di varietà affini, esempi. Le varietà affini sono luogo di zeri di un insieme finito di polinomi. Ideale associato ad un sottoinsieme dello spazio affine, sua radicalità. Corrispondenza tra ideali radicali e varietà affini: enunciato di Nullstellensatz di Hilbert (in una delle sue molteplici forme).

2. 03/03/2023, 11:00 - 13:00. Dimostrazione di Nullstellensatz (debole e forte) via il Lemma di Zariski (un'algebra finitamente generata che è anche un campo e estensione algebrica finita). Alcune applicazioni e conseguenze, inverso moltiplicativo di un polinomio mai nulla su una varietà affine, funzioni polinomiali e polinomi coincidono, ideale di un unione di varietà affini e di un'intersezione. Anello delle coordinate di una varietà affine.

3. 08/03/2023, 16:00 - 18.00. Ipersuperfici affini. Versioni relative (nell'anello delle coordinate di una varietà affine) dell'ideale associato a una varietà e della varietà di un ideale, Nullstellensatz relativo. Esempi. La topologia di Zariski di una varietà affine. Paragone con la topologia euclidea nel caso k=C. Topologia Zariski di un prodotto versus prodotto delle topologie di Zariski, accenno alla nozione di varietà separata. Irriducibilità e connessione, esempi, descrizione in termini dell'anello delle coordinate, esempi. Definizione di spazio topologico noetheriano, le varietà affini munite della topologia di Zariski sono spazi topologici noetheriani.

4. 10/03/2023, 11:00 - 13:00. Sottospazi di spazi topologici noetheriani sono noetheriani, spazi topologici noetheriani sono compatti. Decomposizione finita in chiusi irriducibili di uno spazio topologico noetheriano, relazione con i primi minimali nell'anello delle coordinate di una varietà affine. In uno spazio topologico irriducibile ogni coppia di aperti non vuoti si interseca non banalmente e ogni aperto non vuoto è denso. Prodotto di varietà affini: il prodotto tensoriale di due k-algebre ridotte, di cui una è finitamente generata è ridotto se il campo è algebricamente chiuso, anello delle coordinate di un prodotto di varietà affini come prodotto tensore dei due anelli delle coordinate. Il prodotto tensoriale di due k-algebre prive di divisori dello zero, di cui una è finitamente generata, è un dominio di integrità se il campo è algebricamente chiuso, controesempio nel caso non algebricamente chiuso. Il prodotto di varietà affini irriducibili è una varietà affine irriducibile.

5. 15/03/2023, 16:00 - 18:00. Ripresa della dimostrazione dell'isomorfismo tra prodotto tensoriale dell'anello delle coordinate di due varietà affini e anello (a posteriori delle coordinate) definito dal loro prodotto. Dimostrazione in versione "geometrica" dell'irriducibilità del prodotto di due varietà affini irriducibili. Dimensione di uno spazio topologico, codimensione di un suo sottospazio irriducibile. Esempi, la dimensione di A^1_k è 1, relazione rispettivamente con la dimensione di Krull di un anello e con l'altezza di un ideale primo. Enunciato dei seguenti fatti date due varietà affini irriducibili: dimensione del prodotto è la somma delle dimensioni, se una e contenuta nell'altra allora la dimensione della sottovarietà più la sua codimensione danno la dimensione della varietà ambiente, ogni componente irriducibile del uogo di zeri di una funzione polinomiale non nulla su una varietà affine ha codimensione uno (e quindi dimensione dell'ambiente meno uno). La dimensione di uno spazio topologico noetheriano è il massimo delle dimensioni delle sue componenti irriducibili e l'estremo superiore delle codimensioni dei suoi punti. Motivazione ed enunciato del Lemma di Normalizzazione di Noether. 

6. 17/03/2023, 11:00 - 13:00. Enunciato del fatto che un anello e una sua estensione integrale hanno la stessa dimensione e che l'anello dei polinomi in n variabili ha dimensione n e che ogni sua catena massimale di ideali primi ha lunghezza n. Localizzazione di un anello, interpretazione geometrica della localizzazione in un primo, esempi. L'altezza di un primo è la dimensione del localizzato in quel primo, la dimensione di un anello e maggiore o uguale alla dimensione del quoziente per un primo più l'altezza di quel primo, interpretazione geometrica. Se un anello ha dimensione finita i suoi quozienti hanno dimensione finita, e se ogni catena massimale di primi ha la stessa lunghezza lo stesso vale per i suoi quozienti per un primo; in queste ipotesi la diseguaglianza sulle dimensioni è un'uguaglianza. Se A è una k-algebra finitamente generata allora ha dimensione finita e se è anche un dominio allora ogni catena massimale di primi in A ha la stessa lunghezza, interpretazione geometrica. Toy-case del Teorema di Normalizzazione di Noether: anello delle coordinate di una ipersuperfice irriducibile data da un polinomio monico in una delle sue variabili come estensione integrale di un anello di polinomi in una variabile in meno, interpretazione geometrica.

7. 22/03/2023, 16:00 - 18:00. Condizioni equivalenti di integralità di un elemento, preparazione di polinomi, dimostrazione del Lemma di Normalizzazione di Noether (per campi infiniti), esempio esplicito di normalizzazione di Noether per un'ipersuperficie quadrica in A^3. Enunciato dei lemmi del Lying Over, Going Up, e Incomparability. Un'estensione integrale di anelli preserva la dimensione di Krull. La dimensione di Krull di k[x_1,...,x_n] è n, ed ogni sua catena massimale di ideali primi ha lunghezza n.

8. 24/03/2023, 11:00 - 13:00. Qualche osservazione sulla dimostrazione dell'ultimo teorema della lezione precedente. Enunciato del Teorema dell'Ideale Principale di Krull, le sottovarietà definite da una sola equazione hanno tutte le componenti irriducibili di codimensione 1, se due varietà affini irriducibili hanno la stessa dimensione e una e contenuta nell'altra allora coincidono. L'anello delle coordinate di una varietà affine irriducibile è a fattorizzazione unica se e solo se ogni sottovarietà affine di codimensione 1 è definita da una sola equazione. Varietà di dimensione pure, grado di una ipersuperficie affine. Funzioni regolari su una varietà affine, esempi, il luogo di zeri di una funzione regolare è un chiuso, Teorema di Identità per le funzioni regolari, aperti principali, le funzioni regolari su un aperto principale ammettono una scrittura globale come rapporto di funzioni polinomiali il cui denominatore è una potenza della funzione polinomiale che definisce l'aperto.

9. 29/03/2023, 16:00 - 18:00. Le funzioni regolari su un aperto principale di una varietà affine sono isomorfe come k-algebra alla localizzazione dell'anello delle coordinate rispetto alla funzione polinomiale che definisce l'aperto. Le funzioni regolari sul piano affine privato di un punto sono i polinomi in due variabili, excursus sui teoremi di estensione alla Hartogs, e sulla normalità (anelli integralmente chiusi e condizioni R_1+S_2 di Serre). Prefasci e fasci su uno spazio topologico, esempi, fascio delle funzioni regolari su una varietà affine, spiga di un (pre)fascio in un punto, morfismo di valutazione nel punto dalla spiga delle funzioni regolari in quel punto. Morfismi di (pre)fasci, iniettività, suriettività, fascificazione di un prefascio, esempi.

10. 31/03/2023, 11:00 - 13:00. Esercizio: le matrici di rango al più uno sono una varietà affine irriducibile. La spiga delle funzioni regolari in un punto di una varietà affine è isomorfa come k-algebra alla localizzazione dell'anello delle coordinate rispetto al massimale di quel punto, esempio. Spazi anellati e loro morfismi, un'applicazione tra spazi anellati che è localmente un morfismo è un morfismo, descrizione dei morfismi da un aperto di una varietà affine verso una varietà affine, corrispondenza 1:1 tra morfismi di varietà affini e morfismi di k-algebre tra gli anelli delle coordinate, esempio di morfismo biettivo che non è un isomorfismo (normalizzazione della cuspide).

11. 06/04/2023, 16:00 - 18:00. Esercizio: tutte le funzioni regolari su un aperto si estendono a tutta la varietà affine se e solo se il complementare dell'aperto ha codimensione almeno due, nel caso in cui l'anello delle coordinate è un dominio a fattorizzazione unica; discussione intorno alla necessità dell'ipotesi UFD per avere equivalenza. Proprietà universale dei prodotti di varietà affini, relazione tra iniettività e suriettività del morfismo tra k-algebre finitamente generate e ridotte e dominanza e iniettività per il corrispondente morfismo tra varietà affini. Nuova definizione di varietà affine riveduta e corretta, gli aperti principali sono varietà affini, il piano affine meno un punto non è affine. Definizione di prevarietà algebrica, esempi, incollamento di due (o più) prevarietà. Esempi: la retta proiettiva e la retta con origine doppia. La retta proiettiva non è una varietà affine.

12. 12/04/2023, 16:00 - 18:00. Struttura di prevarietà su un chiuso di una prevarietà. L'inclusione di un aperto (risp. di un chiuso) è un morfismo, se l'immagine di un morfismo è contenuto in una sottoprevarietà aperta (risp. chiusa) allora il morisfmo visto come applicazione a valori in tale sottoprevarietà resta un morfismo. L'immagine di una prevarietà tramite un morfismo non è necessariamente né chiusa né aperta. Prodotto di prevarietà tramite proprietà universale, sua esistenza ed unicità a meno di isomorfismo unico. Definizione di prevarietà separata, i.e. di varietà. Le varietà affini e gli aperti e i chiusi di una varietà sono varietà, la retta con origine doppia non è una varietà. Il grafico di un morfismo a valori in una varietà è chiuso nel prodotto, il luogo in cui due morfismi a valori in una varietà coincidono è chiuso. Esercizio: ogni morfismo dalla retta affine meno un punto alla retta proiettiva si estende a un morfismo su tutta la retta affine.

13. 14/04/2023, 11:00 - 13:00. Sessione di esercizi vari dai fogli di esercizi.

14. 19/04/2023, 16:00 - 18:00. Esercizio sul dominio di definizione massimale di alcune funzioni regolari. Motivazioni per studiare le sottovarietà dello spazio proiettivo, il Teorema di Siu-Yau e le formule di curvatura di Griffiths. Lo spazio proiettivo, coordinate omogenee, coordinate affini, compattezza dello spazio proiettivo complesso in topologia euclidea, polinomi omogenei e loro luogo di zeri su uno spazio proiettivo. Anelli graduati, esempi. Ideali omogenei, proprietà di base. Luogo di zeri proiettivo di un insieme di polinomi omogenei e di un ideale omogeneo, ideale omogeneo di un sottoinsieme dello spazio proiettivo, ideale irrilevante. Definizione provvisoria di varietà proiettiva, esempio delle coniche. Coni e loro proiettificazioni, cono affine su una varietà proiettiva, corrispondenza tra varietà affini che sono coni e varietà proiettive.

15. 21/04/2023, 11:00 - 13:00. Nullstellensatz proiettivo, i luoghi di zeri di ideali omogenei sono i chiusi di una topologia. Anello delle coordinate omogenee di una varietà proiettiva. Disomogenizzazione  e omogenizzazione di polinomi e ideali, le coordinate affini forniscono un omeomorfismo. Lo spazio proiettivo P^n è irriducibile e di dimensione n. Chiusura proiettiva, caso particolare di una ipersuperficie. Grado di una ipersuperfice proiettiva. Esercizio sui generatori dell'ideale della varietà affine data dall'unione dei 3 assi coordinati in A^3, interpretazione proiettiva, cenni al Teorema di Bezout.

16. 26/04/2023, 16:00 - 18:00. Fascio delle funzioni regolari su una varietà proiettiva, le varietà proiettive sono prevarietà. Morfismi da un aperto di una varietà proiettiva verso uno spazio proiettivo dati come collezioni di polinomi omogenei dello stesso grado. Esempi: proiettività, "proiezione" da un sottospazio lineare proiettivo, il caso particolare in cui il sottospazio è un punto, ogni conica proiettiva piana irriducibile è isomorfa alla retta proiettiva. Immersione regolare di Veronese.

17. 28/04/2023, 11:00 - 13:00. Ancora sull'immersione regolare di Veronese, la cubica gobba e sue equazioni di definizione in affine e proiettivo. L'anello delle coordinate omogenee di una varietà proiettiva non è invariante per isomorfismo. Le varietà di Veronese non sono contenute in sottospazi proiettivi lineari. Prodotti di varietà proiettive, immersione regolare di Segre, le schiere di rette su P^1 x P^1. Le varietà proiettive sono separate. Enunciato del Teorema Fondamentale dell'Eliminazione. Conseguenze:  le varietà proiettive sono complete, A^1 non è completo, l'immagine regolare di una varietà completa in una varietà algebrica è chiusa e completa, l'algebra delle funzioni regolari globali su una varietà completa e connessa è il campo.

18. 03/05/2023, 16:00 - 18:00. Una varietà proiettiva privata di un'ipersuperficie proiettiva è affine. Il concetto di genericità. Una ipersuperficie proiettiva generica di grado d in P^n, n>1, è irriducibile. Per cinque punti generici di P^2 passa un'unica conica irriducibile.

19. 05/05/2023, 11:00 - 13:00. Dimostrazione del Teorema Fondamentale della Teoria dell'Eliminazione. Morfismi finiti e quasi-finiti tra varietà affini, un morfismo finito è quasi-finito. Un morfismo quasi-finito non è necessariamente finito. Lemma di Nakayama, un morfismo finito tra varietà affini è suriettivo. Un morfismo finito tra varietà affini è chiuso. Enunciato del fatto che essere finito per un morfismo tra varietà affini è una proprietà locale. Definizione generale di morfismo finito tra due varietà algebriche. Applicazione: un morfismo dominante tra varietà algebriche ha immagine che contiene un aperto denso.

20. 10/05/2023, 16:00 - 18:00. Dimostrazione del fatto che essere finito per un morfismo tra varietà affini è una proprietà locale. La proiezione da un sottospazio proiettivo lineare che non interseca una data varietà proiettiva definisce un morfismo finito da quella varietà proiettiva alla sua immagine. Conseguenze: Teorema di Normalizzazione di Noether Proiettivo, il morfismo definito da polinomi omogenei dello stesso grado il cui luogo di zeri non interseca una varietà proiettiva data definisce un morfismo finito sull'immagine. Enunciato del teorema sulla dimensione delle fibre di un morfismo regolare, l'ipersuperficie proiettiva universale.

21. 17/05/2023, 16:00 - 18:00. Descrizione del problema di determinare se un'ipersuperficie proiettiva di grado d contiene o meno delle rette proiettive, e se sì quante. Discussione del problema per d=1,2. Euristica del problema in grado d>2, panoramica sull'esistenza di curve di genere dato su ipersuperfici generiche. Costruzione della grassmanniana G(2,4) come quadrica in P^5 (quadrica di Klein), coordinate plückeriane. La varietà di incidenza retta-ipersuperficie è una varietà proiettiva irriducibile di dimensione calcolata esplicitamente in funzione del grado delle iperusperifici considerate.

22. 19/05/2023, 11:00 - 13:00. Riepilogo sulla varietà di incidenza retta-ipersuperficie e sui teoremi sulla dimensione delle fibre di un morfismo regolare dominante. Calcolo della dimensione dello spazio delle rette su una ipersuperficie generica di grado 2, di grado >3, e infine di grado 3: la generica superficie cubica in P^3 ha un numero finito (e non zero) di rette. Dimostrazione dell'irriducibilità e della dimensione di una varietà che ammette un morifsmo chiuso e suriettivo verso una varietà irriducibile e le cui fibre sono irriducibili ed equidimensionali. Dimostrazione della prima parte del teorema sulla dimensione delle fibre di un morfismo regolare dominante.

23. 24/05/2023, 16:00 - 18:00. Dimostrazione della seconda parte del teorema sulla dimensione delle fibre di un morfismo regolare dominante. Motivazione per il seguito: quando il luogo di zeri di una funzione olomorfa in più variabili è una varietà differenziabile? Spazio tangente in un punto a una ipersuperficie affine irriducibile, caratterizzazione in termini di rette tangenti. Definizione di punto regolare e punto singolare in questo caso. Spazio tangente a una varietà affine in un punto tramite rette tangenti, caratterizzazione in termini di equazioni cartesiane utilizzando le derivate parziali dei generatori dell'ideale della varietà. 

24. 26/05/2023, 11:00 - 13:00. Riepilogo sulla definizione di punti regolari e singolari per una varietà affine. Esempi. Costruzione intrinseca dello spazio tangente come il duale di m/m^2. Definizione generale di punto regolare e singolare per una varietà algebrica astratta, criterio jacobiano per varietà affini e proiettive. Ogni varietà algebrica irriducibile è birazionale a una ipersuperficie affine irriducibile. Teorema di liscezza generica.

25. 31/05/2023, 16:00 - 18:00. Esercizi vari.

26. 07/06/2023, 16:00 - 18:00. Esercizi vari.

27. 09/06/2023, 11:00 - 13:00. Esercizi vari.