Geometria algebrica

A.A. 2024/2025

II semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile) per matematici.

Modalità logistiche d'esame

L'esame consta di una prova scritta obbligatoria (il cui voto massimo è 30/30) e una prova orale facoltativa su richiesta dello studente (con la quale eventualmente si può avere la lode se il voto dello scritto è 30/30).

In bocca al lupo a tutti!

Testi consigliati & bibliografia

• R. Miranda; "Algebraic Curves and Riemann Surfaces".

• O. Forster; "Lectures on Riemann Surfaces".

• A. Gathmann; "Algebraic Geometry".

• A. Gathmann; "Commutative Algebra".

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald; "Introduction to Commutative Algebra".

• D. Allcock; "Hilbert's Nullstellensatz".

• I. R. Shafarevich; "Basic Algebraic Geometry 1. Varieties in Projective Space". 

• J. S. Milne; "Algebraic Geometry".

• Eventuali note complementari manoscritte dal docente.

Prove d'esame

• Prossimamente...

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1 (ancora incompleto)

Diario di bordo

1. 26/02/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   Informazione pratiche sul corso, ricevimento, modalità d'esame. Panoramica del corso: che cos'è la geometria algebrica, varietà affini, varietà algebriche, varietà proiettive, varietà complesse e algebrizzazione (Teorema di Chow). Cosa cambia se il campo è o non è algebricamente chiuso. Superfici di Riemann e curve algebriche, genere topologico di una superficie compatta orientabile. La tricotomia genere zero, uno, o superiore o uguale a due: uniformizzazione, curvatura, proprietà aritmetiche.

2. 28/02/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Finale della panoramica, moduli di superfici di Riemann. Definizione di superficie di Riemann. Esempi: la sfera di Riemann, la retta proiettiva, i tori complessi, grafici di funzioni olomorfe.

3. 05/03/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   Definizione di funzione olomorfa di più variabili, accenni alle proprietà basilari, formula di Cauchy per il polidisco, teoremi di estensione di Riemann e Hartogs. Teorema della funzione implicita, inversa e del rango costante per funzioni olomorfe di più variabili. Sottovarietà complesse chiuse di C^n. Esempi di superfici di Riemann: curve algebriche affini piane, curve algebriche proiettive piane, curve algebriche proiettive intersezione complete e localmente intersezioni complete, la cubica gobba.

4. 07/03/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Verifica della compatibilità delle carte complesse per curve algebriche affini e proiettive piane irriducibili e non singolari. Definizione di funzione olomorfa e meromorfa su una superficie di Riemann, esempi. Teoremi immediati mutuati dalla teoria di una variabile complessa.

5. 12/03/2025  Aula G 15:00 - 17:00
   Descrizione del campo delle funzioni meromorfe per la sfera di Riemann e la retta proiettiva. In entrambi i casi la somma degli ordini di una funzione meromorfa è zero. Costruzione della funzione Theta di Jacobi e costruzioni di funzioni meromorfe L-periodiche sul piano complesso, dove L è un reticolo del tipo Z+τZ.

6. 14/03/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Teorema degli Zeri di Hilbert (sui numeri complessi). Definizione di applicazione olomorfa tra superifici di Riemann, prime proprietà, isomorfismi, automorfismi. Corrispondenza tra funzioni meromorfe su una superficie di Riemann e applicazioni olomorfe tra la superficie e la sfera di Riemann.