Geometria algebrica

A.A. 2024/2025

II semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile) per matematici.

Modalità logistiche d'esame

L'esame consta di una prova scritta obbligatoria (il cui voto massimo è 30/30) e una prova orale facoltativa su richiesta dello studente (con la quale eventualmente si può avere la lode se il voto dello scritto è 30/30).

In bocca al lupo a tutti!

Testi consigliati & bibliografia

• R. Miranda; "Algebraic Curves and Riemann Surfaces".

• O. Forster; "Lectures on Riemann Surfaces".

• A. Gathmann, "Algebraic Geometry".

• A. Gathmann; "Commutative Algebra".

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald; "Introduction to Commutative Algebra".

• D. Allcock, "Hilbert's Nullstellensatz".

• I. R. Shafarevich, "Basic Algebraic Geometry 1. Varieties in Projective Space". 

• J. S. Milne, "Algebraic Geometry".

• Eventuali note complementari manoscritte dal docente.

Prove d'esame

• Prossimamente...

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1 (Primi passi nel mondo delle superfici di Riemann e dei loro morfismi).

• Foglio di esercizi n° 2 (Formula di Hurwitz e dintorni).

• Foglio di esercizi n° 3 (Fibrati in rette e divisori). Foglio in divenire.

Diario di bordo

1. 26/02/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   Informazione pratiche sul corso, ricevimento, modalità d'esame. Panoramica del corso: che cos'è la geometria algebrica, varietà affini, varietà algebriche, varietà proiettive, varietà complesse e algebrizzazione (Teorema di Chow). Cosa cambia se il campo è o non è algebricamente chiuso. Superfici di Riemann e curve algebriche, genere topologico di una superficie compatta orientabile. La tricotomia genere zero, uno, o superiore o uguale a due: uniformizzazione, curvatura, proprietà aritmetiche.

2. 28/02/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Finale della panoramica, moduli di superfici di Riemann. Definizione di superficie di Riemann. Esempi: la sfera di Riemann, la retta proiettiva, i tori complessi, grafici di funzioni olomorfe.

3. 05/03/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   Definizione di funzione olomorfa di più variabili, accenni alle proprietà basilari, formula di Cauchy per il polidisco, teoremi di estensione di Riemann e Hartogs. Teorema della funzione implicita, inversa e del rango costante per funzioni olomorfe di più variabili. Sottovarietà complesse chiuse di C^n. Esempi di superfici di Riemann: curve algebriche affini piane, curve algebriche proiettive piane, curve algebriche proiettive intersezione complete e localmente intersezioni complete, la cubica gobba.

4. 07/03/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Verifica della compatibilità delle carte complesse per curve algebriche affini e proiettive piane irriducibili e non singolari. Definizione di funzione olomorfa e meromorfa su una superficie di Riemann, esempi. Teoremi immediati mutuati dalla teoria di una variabile complessa.

5. 12/03/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   Descrizione del campo delle funzioni meromorfe per la sfera di Riemann e la retta proiettiva. In entrambi i casi la somma degli ordini di una funzione meromorfa è zero. Costruzione della funzione Theta di Jacobi e costruzioni di funzioni meromorfe L-periodiche sul piano complesso, dove L è un reticolo del tipo Z+τZ.

6. 14/03/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Teorema degli Zeri di Hilbert (sui numeri complessi). Definizione di applicazione olomorfa tra superfici di Riemann, prime proprietà, isomorfismi, automorfismi. Corrispondenza tra funzioni meromorfe su una superficie di Riemann e applicazioni olomorfe tra la superficie e la sfera di Riemann.

7. 19/03/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   La somma degli ordini di una funzione meromorfa su un toro è zero. Forma normale locale di un'applicazione olomorfa tra superfici di Riemann, molteplicità in un punto, punti di ramificazione e di diramazione, ogni applicazione olomorfa tra superfici di Riemann compatte è un rivestimento "ramificato".  Grado  di un'applicazione olomorfa tra superfici di Riemann compatte. Un'applicazione olomorfa tra superfici di Riemann compatte è un isomorfismo se e solo se ha grado uno, la somma degli ordini di una funzione meromorfa su una superficie di Riemann compatta è zero, ogni funzione meromorfa su un toro è rapporto di prodotti di traslate di funzioni Theta. Molteplicità della proiezione sulla prima coordinata per una curva affine (risp. proiettiva) algebrica piana irriducibile non singolare.

8. 21/03/2025 Aula E 10:00 - 12:00
   Ogni toro complesso ha una funzione meromorfa con un unico polo di ordine due. Studio dettagliato della chiusura proiettiva della curva affine piana irriducibile non singolare y^2=x(x-1)(x-2). Studio della ramificazione della sua proiezione sul primo fattore. Enunciato della Formula di Hurwitz, e accenni alla caratteristica di Eulero topologica.

9. 26/03/2025 Aula G 15:00 - 17:00
   Alcune conseguenze immediate della Formula di Hurwitz: un'applicazione olomorfa non costante da una superficie di Riemann compatta verso una superficie di Riemann di genere zero è un isomorfismo oppure ramifica, non eisstono applicazioni olomorfe non costanti da una superficie di Riemann compatta di genere g verso una di genere g' se g'>g, un'applicazione olomorfa non costante tra tori complessi è un rivestimento. Descrizione delle applicazioni olomorfe tra tori complessi, e degli automorfismi di un toro complesso che fissano l'elemento neutro, esistenza di tori non biolomorfi. Superfici di Riemann iperellittiche, descrizione del loro campo delle funzioni meromorfe, inizio della costruzione esplicita di superfici di Riemann iperellittiche come chiusura proiettiva di y^2=h(x). Il problema della desingolarizzazione.

10. 28/03/2025 Aula E 10:00 - 12:00
    Calcolo del genere della curva di Fermat di grado d. Ultimo Teorema di Fermat per il campo di funzioni C(x). Scoppiamento del piano in un punto, divisore eccezionale, trasformata stretta di una curva del piano, risoluzione di nodi e cuspidi.

11. 02/04/2025 Aula G 15:00 - 17:00
    Carte bucate, e riempimento di buchi. Riempimento di buchi come risoluzione di singolarità. Cosa vuol dire risolvere una curva algebrica, due risoluzioni di una curva algebrica sono isomorfe. Singolarità piane monomiali e loro risoluzioni riempiendo i buchi. Costruzione di una curva iperellittica di ogni genere come risoluzione monomiale della compattificazione in P^1xP^1 della curva affine piana y^2=h(x).

12. 04/04/2025 Aula E 10:00 - 12:00
    Fibrati in rette complessi, topologici, lisci, olomorfi. Cociclo associato, costruzione inversa. Morfismi tra fibrati in rette, isomorfismi. Struttura di gruppo sulle classi di isomorfismo di fibrati in rette olomorfi, gruppo di Picard, isomorfismo con H^1(X,O_X^*). Successione esatta corta esponenziale (topologica e olomorfa), varietà jacobiana di una curva, prima classe di Chern di un fibrato in rette complesso, gruppo di Néron-Severi. La jacobiana come spazio dei moduli delle strutture olomorfe sul fibrato in rette complesso banale. Caratteristica di Eulero olomorfa di un fibrato in rette olomorfo, enunciato del Teorema di Riemann-Roch per fibrati in rette olomorfi.

13. 09/04/2025 Aula G 15:00 - 17:00
    Il fibrato in rette tautologico sullo spazio proiettivo. Definizione, verifica che trattasi di fibrato in rette olomorfo, banalizzazioni, funzioni di transizione. Fibrati in rette O(k), e loro sezioni olomorfe globali. Il fibrato in rette tautologico non è topologicamente banale. Lo spazio totale del fibrato tautologico come scoppiamento di uno spazio vettoriale nell'origine.

14. 11/04/2025 Aula E 10:00 - 12:00
    Costruzione via cocicli del fibrato canonico (cotangente olomorfo) di una superficie di Riemann, e del suo duale il tangente olomorfo. Il fibrato canonico della retta proiettiva è isomorfo a O(-2), il canonico di un toro complesso è isomorfo al fibrato banale. Genere topologico, aritmetico e analitico di una superficie di Riemann compatta. Cenni sulla costruzione "intrinseca" del fibrato tangente e cotangente olomorfo come autofibrato del complessificato del tangente reale rispetto alla struttura complessa naturale complessificata.

15. 16/04/2025 Aula G 15:00 - 17:00
    Divisori su una superficie di Riemann, grado di un divisore, divisori principali, i divisori principali hanno grado zero, divisore di una sezione meromorfa di un fibrato in rette olomorfo, due sezioni meromorfe di uno stesso fibrato differiscono moltiplicativamente per una funzione meromorfa, grado di un fibrato in rette, divisori canonici, grado dei fibrati O(k), Formula di Hurwitz, divisore di ramificazione e di diramazione di un'applicazione olomorfa non costante, pull-pack di divisori, riscrittura del Teorema di Riemann-Hurwtiz in termini di gradi di divisori.

16. 23/04/2025 Aula G 15:00 - 17:00
    Pull-back di un fibrato in rette. Corrispondenza tra divisori e fibrati in rette olomorfi, divisori linearmente equivalenti. Divisore "nucleo" di un morfismo tra fibrati in rette olomorfi, isomorfismo tra il fibrato "dominio" tensor il nucleo e  il fibrato "codominio". Fibrato canonico relativo per un morfismo tra superfici di Riemann, il fibrato canonico relativo è isomorfo al fibrato associato al divisore di ramificazione. Formula di Hurwitz in versione fibrati canonici.