Geometria differenziale
A.A. 2019/2020
I semestre, 48 ore.
Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile).
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Esami in tempi di COVID.
La prova d'esame per la sessione autunnale si svolgerà in modalità telematica.
Ci sarà una prova scritta (più corta del normale, della durata di 1 ora e 30 minuti) a distanza, le cui regole saranno sostanzialmente quelle delle linee guida Sapienza, nella seguente declinazione: piattaforma di videocomunicazione Meet, esame scritto su carta tramite Exam.net.
Una volta chiuse le iscrizioni (due settimane prima della data dello scritto), contatterò gli iscritti per concordare una prova tecnica d'esame qualche giorno prima dello scritto vero e proprio.
L'orale non sarà obbligatorio come preannunciato durante il corso, ma -vista la natura della prova scritta- ogni candidato potrà dover rispondere a qualche breve domanda orale in sede di verbalizzazione per verificare la bontà dello scritto.
I link fondamentali, da leggersi attentamente (come se fossero parte integrante del programma d'esame) prima di sostenere l'esame.
Decreto rettorale riguardante lo svolgimento degli esami scritti in modalità telematica (la parte importante comincia a pagina 6).
Informativa per lo studente riguardo lo svolgimento degli esami scritti in modalità telematica.
Si prega di prestare particolare attenzione alle seguenti problematiche:
Ricordarsi che le prenotazioni all'esame chiudono due settimane prima della data dello scritto: ora più che mai questo termine è improrogabile.
Comunicare con largo anticipo al docente se non si è in possesso di uno o più requisiti per sostenere l'esame come da linee guida qui sopra (ad es. se non si dispone di computer dotato di telecamera, microfono, altoparlante ed inoltre di uno smartphone dotato di telecamera, microfono, altoparlante e di un’app di lettura di QRcode, entrambi con connessione stabile ad internet tale da consentire lo svolgimento della prova).
Repetita iuvant: verificare per tempo di essere in possesso di uno smartphone che legga con successo i codici QR.
Attuare per tempo la procedura per la verifica dell'identità in segreteria.
Assicurarsi prima della prova scritta di aver disattivato dispositivi di salvaschermo e/o risparmio energetico sul computer con il quale si svolge la prova per evitare di interrompere la modalità tutto schermo di Exam.net.
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Testi consigliati:
Lee, John M. "Introduction to smooth manifolds".
Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer, New York, 2013. xvi+708 pp. ISBN: 978-1-4419-9981-8.
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Bibliografia di riferimento:
Abate, Marco, e Tovena, Francesca "Geometria differenziale". Unitext, 54. La Matematica per il 3+2. Springer, Milan, 2011. xiv+465 pp. ISBN: 978-88-470-1919-5; 978-88-470-1920-1.
Lee, Jeffrey M. "Manifolds and differential geometry". Graduate Studies in Mathematics, 107. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009. xiv+671 pp. ISBN: 978-0-8218-4815-9.
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Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 07/09/2020, e una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 10/07/2020, e una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo d'esame (in modalità telematica) del 22/06/2020, e una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo d'esame del 11/02/2020, e una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete il testo d'esame del 23/01/2020, e una possibile soluzione degli esercizi.
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Fogli di esercizi.
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Diario di bordo
24/09/2019 (Corso)
Introduzione al corso, motivazioni: che cos'è la geometria differenziale. Prime definizioni: varietà topologica, carta coordinata, esempi (grafico di una funzione, sfere, spazi proiettivi reali, prodotti di varietà, aperti di varietà).
27/09/2019 (Corso)
Prime proprietà topologiche delle varietà topologiche: base numerabile costituita da palle coordinate, connessione e connessione per archi delle componenti connesse, numerabilità delle componenti connesse, locale compattezza, esaustione in compatti, paracompattezza.
01/10/2019 (Corso)
Numerabilità del gruppo fondamentale di una varietà topologica. Strutture lisce: compatibilità delle carte, atlanti, atlanti massimali. Definizione di varietà differenziabile. Piccola digressione sull'esistenza di strutture differenziabili su varietà topologiche, e sulle strutture esotiche.
04/10/2019 (Corso)
Struttura liscia indotta da un atlante liscio. Esempi di varietà differenziabile: spazi vettoriali reali di dimensione finita (e derivati, i.e. matrici, applicazioni lineari, applicazioni lineari invertibili), gruppi di Lie, grafici di funzioni lisce, sfere, spazi proiettivi, il cono quadratico non è una varietà topologica.
08/10/2019 (Corso)
Esempio in dettaglio: sottovarietà localmente chiuse di uno spazio euclideo. Struttura di varietà differenziabile indotta su un insieme sul quale sono definite delle carte soddisfacenti determinate proprietà. Inizio di un altro esempio in dettaglio: la grassmanniana.
11/10/2019 (Corso)
Costruzione dettagliata della struttura standard di varietà differenziabile per la Grassmanniana, esempio esplicito di cambio coordinate per G(2,4). Definizione di funzione liscia e di applicazione liscia tra varietà. Ogni applicazione liscia tra varietà è continua.
15/10/2019 (Corso)
Esempi di applicazioni lisce, varietà diffeomorfe, i reali con la struttura standard sono diffeomorfi ai reali con la struttura "cubica". Funzioni cut-off e bump, supporto, definizione di partizione dell'unità (liscia) subordinata ad un ricoprimento aperto. Ogni varietà differenziabile ammette partizioni dell'unità lisce.
18/10/2019 (Corso)
Applicazioni delle partizioni dell'unità: esistenza di funzioni test a supporto contenuto in un aperto prescritto e identicamente uguali a uno su un chiuso prescritto, estensione di funzioni lisce da un chiuso, esistenza di una funzione lisca e positiva di esaustione. Definizione di spazio tangente ad una varietà in un punto come insieme delle velocità delle curve che passano per quel punto.
22/10/2019 (Corso)
Struttura lineare sullo spazio tangente in un punto, spazio tangente in un punto visto come spazio di derivazioni. Differenziale di un'applicazione tra varietà. Immersioni, submersioni. Fibrato tangente, e sua struttura naturale di varietà differenziabile con la quale la proiezione naturale diventa una submersione suriettiva liscia.
25/10/2019 (Corso)
Campi vettoriali, struttura di modulo sulle funzioni lisce, campi vettoriali coordinati. Costruzioni di campi vettoriali globali, con partizioni dell'unità, e con le condizioni di incollamento, cociclo jacobiano. Enunciato del Teorema della Palla Pelosa. Il differenziale di un'applicazione liscia tra varietà come applicazione liscia tra fibrati tangenti.
29/10/2019 (Corso)
Varietà parallelizzabili, una varietà è parallelizabile se e solo se il suo fibrato tangente è banale, esempi. Un esempio in dettaglio per lo studio del differenziale di un'applicazione liscia: latitudine e longitudine su S^2.
05/11/2019 (Corso)
Punti critici e punti regolari, e valori critici e valori regolari di un'applicazione lisca tra varietà. Caso equidimensionale con varietà di partenza compatta, locale costanza del numero di preimmagini sul luogo dei valori regolari. Applicazione: il Teorema Fondamentale dell'Algebra.
Insiemi di misura nulla in R^n, versione elementare di Fubini nel caso di misura nulla, il grafico di una funzione continua ha misura nulla, sottospazi affini propri hanno misura nulla.
08/11/2019 (Corso)
Ricapitolazione su alcuni punti lasciati in sospeso nelle lezioni precedenti. L'immagine in R^n di un insieme di misura nulla di R^n via un'applicazione differenziabile ha misura nulla (controesempio nel caso continuo: Curva di Peano). Definizione di insiemi di misura nulla in una varietà differenziabile, prime proprietà che ricalcano gli enunciati analoghi in R^n. Enunciato del Teorema di Sard.
12/11/219 (Corso)
Applicazioni proprie tra spazi topologici, le funzione esaustive sono proprie. Una sottovarietà localmente chiusa è chiusa se e solo se è l'immagine di una immersione regolare propria. Enunciato del Teorema (Debole & Forte) di Immersione di Whitney, discussione sulla sua ottimalità rispetto alla dimensione. Lemma di proiezione generica per sottovarietà immerse.
15/11/2019 (Corso)
Esempi di insiemi di valori critici di funzioni lisce (finiti, numerabili, numerabili e densi, non numerabili). Lemma di immersione regolare propria a immagine in un tubo.
19/11/2019 (Corso)
Esempio esplicito per la circonferenza meno un punto di immersione regolare propria a partire da una immersione regolare non propria, ivi compresa una proiezione a valori in un tubo. Teorema di Immersione Regolare Propria di Whitney, prima nel caso compatto, poi nel caso non compatto, con piccola digressione su varietà con bordo e in particolare domini regolari. Inizio della dimostrazione del Teorema di Sard: base dell'induzione, riduzione al caso di applicazioni tra spazi euclidei, descrizione delle tre tappe fondamentali della dimostrazione.
22/11/2019 (Corso)
Dimostrazione del Teorema di Sard. Inizio dello studio in dettaglio della Fibrazione di Hopf.
26/11/2019 (Corso)
Studio in dettaglio della Fibrazione di Hopf. Campi vettoriali, riepilogo delle cose già viste. I campi vettoriali come derivazioni delle funzioni lisce, struttura di R-algebra sullo spazio dei campi vettoriali: parentesi di Lie, sua scrittura in coordinate locali.
29/11/2019 (Corso)
Criteri di liscezza per un campo vettoriale "rozzo", ripresa sulla parentesi di Lie, struttura di algebra di Lie sullo spazio dei campi vettoriali. La derivata di Lie di un campo vettoriale rispetto ad un altro.
Curve integrali di un campo vettoriale, esempi. Descrizione locale tramite un sistema di equazioni differenziali ordinarie in carte locali. Esistenza, unicità, e liscezza (ivi compresa in dipendenza dal dato iniziale) per il problema di Cauchy correlato.
03/12/2019 (Corso)
Ancora sulla derivata di Lie di un campo vettoriale rispetto ad un altro, comportamento della parentesi di Lie per campi F-associati, in particolare rispetto a un diffeomorfismo, la parentes di Lie di due campi tangenti a una sottovarietà immersa è ancora tangente alla sottovarietà. Gruppi di Lie, campi vettoriali invarianti a sinistra, algebra di Lie di un gruppo di Lie, suo isomorfismo con lo spazio tangente all'identità. I gruppi di Lie sono parallelizzabili, esempi. Esempio: il gruppo lineare generale, e la parentesi di Lie come commutatore tra matrici.
06/12/2019 (Corso)
Le curve integrali per un campo invariante a sinistra su GL(n,R): esponenziale di matrici. Flusso globale associato a un campo vettoriale completo, flussi globali e loro generatori infinitesimali, esempi. Esempi di campi non completi, domini di flusso e flussi locali, generatore infinitesimale per un flusso locale. Enunciato del Teorema Fondamentale sui Flussi Locali.
10/12/2019 (Corso)
Vaga idea della dimostrazione del Teorema Fondamentale sui Flussi Locali. Conseguenze: flussi locali massimali per campi associati, e via un diffeomorfismo. Campi completi, Lemma del Tempo Uniforme e conseguenze: campi a supporto compatto sono completi, i campi invarianti a sinistra su un gruppo di Lie sono completi. Equazioni differenziali del primo ordine, problema di Cauchy non caratteristico per equazioni lineari e quasi-lineari. Esempi: equazione lineare del trasporto, equazione di Burgers inviscida. Enunciato e inizio della dimostrazione del Teorema sui Flussi Uscenti.
17/12/2019 (Corso)
Dimostrazione del Teorema sui Flussi Uscenti. Applicazione: esistenza e unicità per il problema di Cauchy non caratteristico per un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare del primo ordine su varietà, con dato su un'ipersuperficie. Esempio in R^2.
07/01/2020 (Corso)
Accenni sulla trasversalità e su come si possa usare per capire quando una sottovarietà di un prodotto è un grafico. Curve integrali tangenti a una sottovarietà. Metodo delle Caratteristiche per problemi di Cauchy quasi-lineari: esistenza e unicità locale nel caso non caratteristico. Esempio esplicito di risoluzione di un'equazione di tipo Burgers.
10/01/2020 (Esercitazioni)
Esercizi vari presi dai fogli di esercizi.