Geometria differenziale 

A.A. 2025/2026

I semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile).

Modalità logistiche d'esame

La prova scritta d'esame è in presenza. Le iscrizioni agli appelli chiudono inderogabilmente dieci giorni prima della data d'esame.

Gli iscritti ai vari appelli riceveranno a tempo debito una email sull'indirizzo di posta istituzionale con le informazioni per la convocazione (aula, orari, ecc...).

Durante la prova scritta è indispensabile essere muniti di un documento di identità (con fotografia) in corso di validità, che sarà controllato durante la prova.

Si può portare con sé: la/le penna/e, eventualmente acqua e snack, gli appunti presi durante il corso, nonché i fogli di esercizi. Non è ammesso portare con sé altro.

Chi ottiene alla prova scritta un voto superiore o uguale a 18 dovrà obbligatoriamente rispondere a qualche breve domanda orale in sede di verbalizzazione essenzialmente concernente gli eventuali errori nella propria prova scritta. Facoltativamente si può decidere di affrontare una prova orale più strutturata se si vuole modificare in maniera più sostanziale il voto dello scritto, o aspirare alla lode.

Chi riporta alla prova scritta una votazione inferiore a 18 non potrà accedere alla prova orale e dovrà quindi ripresentarsi ad un appello successivo. 

In bocca al lupo a tutti!

Testi consigliati

• Lee, John M. "Introduction to smooth manifolds". Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer, New York, 2013. xvi+708 pp. ISBN: 978-1-4419-9981-8.

• Abate, Marco, e Tovena, Francesca "Geometria differenziale". Unitext, 54. La Matematica per il 3+2. Springer, Milan, 2011. xiv+465 pp. ISBN: 978-88-470-1919-5; 978-88-470-1920-1. 

• Lee, Jeffrey M. "Manifolds and differential geometry". Graduate Studies in Mathematics, 107. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009. xiv+671 pp. ISBN: 978-0-8218-4815-9.

Prove di esame

• Prova scritta del 26/01/2026. Cliccando qui troverete il testo e una proposta di soluzioni.

• Prova scritta del 18/02/2026. Cliccando qui troverete il testo e una proposta di soluzioni.

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1.

• Foglio di esercizi n° 2.

• Foglio di esercizi n° 3.

• Foglio di esercizi n° 4.

• Foglio di esercizi n° 5.

• Foglio di esercizi n° 6.

Diario di bordo

1. 30/09/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
   Logistica e panoramica del corso. Varietà topologiche, carte coordinatre, esempi: grafici di funzioni continue, le sfere, gli spazi proiettivi reali.

2. 02/10/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
   Ancora sullo spazio proiettivo, prodotto di varietà topologiche, tori. Proprietà topologiche di base delle varietà topologiche, connessione vs connessione per archi, locale compattezza, esaustioni in compatti, paracompattezza. Intuizione dietro la definizione di struttura liscia.

3. 07/10/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
   Il gruppo fondamentale di una varietà topologica ha cardinalità al più numerabile. Funzioni di transizione, carte C^∞-compatibili, atlanti, atlanti lisci, atlanti massimali, strutture lisce e varietà lisce. Ogni atlante liscio è contenuto in un'unico atlante liscio massimale, palle coordinate regolari. Esempi: due strutture lisce differenti su R, struttura liscia standard su R^n, su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, sullo spazio delle matrici m x n, sul gruppo lineare reale, sulle amtrici id rango massimo, su spazi id applicazioni lineari tra spazi vettoriali reali di dimensione finita, su grafici di funzioni continue, sulle sfere.

4. 09/10/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
   Esempio (da riprendersi) sottovarietà chiuse e localmente chiuse di R^n. Come dare una struttura di varietà differenziabile ad un insieme ricoperto da sottoinsiemi in biezione con aperti di R^n (smooth manifold chart lemma). Inizio di applicazione di tale lemma: la varietà grassmanniana.

5. 14/10/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
   Costruzione della struttura standard di varietà differenziabile sulla grassmanniana. Esempio esplicito di coordinate sulla grassmanniana G(2,4), e sua immersione regolare di Plücker in RP^5.

6. 16/10/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
   Analisi in dettaglio di come una sottovarietà (localmente) chiusa di R^n è una varietà liscia. Definizione di funzione liscia su una varietà e di applicazione liscia tra due varietà; un'applicazione liscia tra due varietà è continua. Prime proprietà delle applicazioni lisce, primissimi esempi: il rivestimento universale della circonferenza e dei tori.

7. 21/10/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
   Alcuni esempi di funzioni lisce tra varietà, il concetto di varietà diffeomorfe, esempio di due varietà omeomorfe con strutture differenziabili distinte ma diffeomorfe. Funzioni cutoff e bump, partizioni dell'unità continue o lisce subordinate a un ricoprimento aperto, enunciato della loro esistenza. Applicazioni varie, tra cui estensione liscia di funzioni lisce a valori in R^k definite su un chiuso di una varietà.

8. 28/10/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
   Ogni varietà liscia ammette una funzione di esaustione liscia e positiva. Lo spazio tangente in un punto ad una varietà come insieme delle possibili velocità di traiettorie passanti per quel punto: prima il caso di un aperto di R^n, poi di una sottovarietà localmente chiusa di R^{n+c}, poi il caso generale come classi di equivalenza di traiettorie. Struttura di spazio vettoriale sullo spazio tangente in un punto. Base associata ad un isomorfismo dello spazio tangente con R^n dato dalla velocità espressa in carta coordinata.

9. 30/10/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
   Riepilogo sullo spazio tangente in un punto a una varietà liscia. Definizione del differenziale in un punto di un'applicazione liscia tra varietà lisce: bontà della definizione, linearità, espressione in coordinate, relazione con la matrice jacobiana. Immersioni e submersioni, Teorema del Rango costante, struttura locale di un'applicazione liscia tra varietà il cui differenziale ha rango costante in un aperto, caso particolare delle immersioni e delle submersioni. Euristica di come tale struttura locale sia la versione non lineare della forma normale di un'applicazione lineare di rango dato. Esempio di immersione non iniettiva.

10. 04/11/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
    Dimostrazione "topologico-differenziale" del Teorema Fondamentale dell'Algebra. Il fibrato tangente: struttura di varietà differenziabile di dimensione doppia di quello della varietà, liscezza, suriettività, e submersività della proiezione naturale. Il fibrato tangente di una variet' che possiede un atlante compatibile con una sola carta. Sollevamento di curve lisce al fibrato tangente. Campi vettoriali, scrittura in coordinate.

11. 07/11/2025 Aula Picone 14:00 - 16:00
    Il differenziale di un'applicazione liscia tra varietà è un'applicazione liscia tra i fibrati tangenti rispettivi, che rispetta le proiezioni e la struttura lineare.  Comportamento del differenziale per composizione e inversione. Il fibrato tangente di una sottovarietà è una sottovarietà del fibrato tangente dello spazio ambiente, che rispetta proiezione e struttura lineare. Esempio esplicito di studio: il fibrato tangente a S^1 come sottovarietà chiusa di R^4 di codimensione 2. Isomorfismo tra T_{S^1} e il cilindro infinito. Varietà parallelizzabili. Esempi, enunciato del Teorema della Palla Pelosa.

12. 11/11/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
    Ancora sulla parallelizzabilità, esempio delle varietà con una sola carta. Campi vettoriali rozzi, come verificare che un campo vettoriale rozzo è liscio. Esempio di una superficie in R^3 data come grafico di una funzione per interpretare i ∂/∂x_i geometricamente e come derivazioni di funzioni lisce. La struttura di C^∞(M,R)-modulo dello spazio dei campi vettoriali globali, derivazione di una funzione liscia rispetto ad un campo vettoriale ed interpretazione come derivata direzionale. Struttura di R-algebra sullo spazio dei campi vettoriali globali: la parentesi di Lie di due campi vettoriali.

13. 13/11/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Come cambiano le coordinate di un campo vettoriale e il sistema di riferimento locale associato a delle coordinate sulla varietà quando si cambiano coordinate sulla varietà. Condizione di incollamento per costruire un campo vettoriale globale a partire da una collezione di funzioni locali a valori vettoriali: il cociclo jacobiano. Un campo vettoriale rozzo è liscio se e solo se la derivata di ogni funzione liscia rispetto a tale campo è ancora una funzione liscia. Lo spazio tangente in un punto come spazio delle derivazioni in quel punto. Ogni derivazione sullo spazio delle funzioni lisce proviene da un campo vettoriale globale. La parentesi di Lie di due campi vettoriali globali è una derivazione e dunque un campo vettoriale globale. Espressione in coordinate locali della parentesi di Lie di due campi vettoriali.

14. 18/11/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
    La parentesi di Lie di due campi coordinati è identicamente nulla, Identità di Jacobi per la parentesi di Lie di campi vettoriali, bilinearità, anticommutatività. Definizione di algebra di Lie, esempi. Campi vettoriali F-associati, push-forward di un campo vettoriale via un diffeomorfismo. Digressione su varietà immerse e regolarmente immerse, esempi, struttura locale, "spazio tangente" in un punto di una varietà immersa.

15. 20/11/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Parentesi di Lie di campi vettoriali F-associati sono F-associate, campi vettoriali e loro restrizioni a varietà immerse e immerse regolarmente, comportamento della parentesi di Lie per restrizione a sottovarietà (immerse o immerse regoplarmente) di campi tangenti a tale sottovarietà. Definizione di gruppo di Lie, esempi di gruppi di Lie notevoli di matrici. Calcolo dello spazio tangente nell'identità ai gruppi di Lie GL(n,R), SL(n,R), SO(n,R).

16. 25/11/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
    Campi vettoriali invarianti a sinistra in un gruppo di Lie, algebra di Lie di un gruppo di Lie, isomorfismo come spazio vettoriale tra l'algebra di Lie di un gruppo e lo spazio tangente nell'identità. Ogni campo vettoriale rozzo e invariante a sinistra è liscio, i gruppi di Lie sono parallelizzabili. Isomorfismo tra l'algebra di Lie del gruppo lineare reale e l'algebra di Lie delle matrici quadrate dotate del commutatore tra matrici. Inizio della costruzione dell'omomorfismo tra algebre di Lie indotto da un omomorfismo tra gruppi di Lie.

17. 27/11/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Omomorfismo tra algebre di Lie indotto da un omomorfismo tra gruppi di Lie, proprietà funtoriali di tale omomorfismo indotto. Identificazione canonica dell'algebra di Lie di un sottogruppo di Lie con una sottoalgebra dell'algebra di Lie del gruppo. Cenni filosofici al Teorema di Ado e al fatto che mentre ogni algebra di Lie reale finito dimensionale è un'algebra di matrici, lo stesso non vale per i gruppi di Lie. Come proiettare su R^{ N-1} in maniera iniettiva e immersiva una sottovarietà immersa (non necessariamente regolarmente) in R^N, se N > 2 dim(M) -1. Criteri affinché una immersione iniettiva sia un'immersione regolare. 

18. 02/12/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
    Se una varietà di dimensione n ammette un'immersione regolare in uno spazio euclideo ne ammette anche una propria in R^{2n+1}. Teorema di immersione regolare propria di Whitney, dimostrazione nel caso compatto. Verso l'enunciato del Teorema di Sard: se un compatto di R^n ha "fette" (n-1)-dimensionali di misura nulla in R^{n-1} allora esso ha misura nulla in R^n.

19. 04/12/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Il grafico di una funzione continua definita su un aperto o su un chiuso di R^n ha misura zero. Sottospazi affini hanno misura zero. L'immagine in R^m tramite una funzione liscia di un insieme di misura nulla in R^n ha misura nulla se n non è maggiore di m. Definizione di insieme di misura nulla in una varietà differenziabile, caratterizzazione. Enunciato del Teorema di Sard, l'immagine di una varietà tramite una funzione liscia in una varietà di dimensione non minore ha misura zero, controesempio nel caso continuo. Inizio della dimostrazione del Teorema di Sard.

20. 09/12/2025 Aula Picone 16:00 - 18:00
    Fine della dimostrazione del Teorema di Sard. Una sottovarietà immersa (di dimensione strettamente inforiore allo spazio ambiente) ha misura zero. Motivazioni per la trasversalità: euristica dell'intersezione in omologia. Definizioni di sottovarietà trasverse e di trasversalità tra un'applicazione liscia e una sottovarietà. Un'applicazione submersiva è trasversa ad ogni sottovarietà. La preimmagine di una sottovarietà trasversa ad una applicazione liscia è una sottovarietà della stessa codimensione. Sottovarietà trasverse di dimensione complementare hanno intersezione vuota o costituita da punti isolati. Due sottovarietà la cui somma delle dimensioni è minore della dimensione dello spazio ambiente sono trasverse se e solo se hanno intersezione vuota. La preimmagine di una sottovarietà tramite un'applicazione submersiva è una sottovarietà della stessa codimensione.

21. 11/12/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Riepilogo intorno alle definizioni di trasversalità. Teorema della Funzione Implicita "globale" e "locale" in termini di trasversalità. Famiglie lisce di applicazioni lisce, due applicazioni lisce che appartengono alla stessa famiglia liscia parametrizzata da una varietà connessa sono omotope. Teorema di trasversalità parametrico, teorema di trasversalità omotopica (dando per buono esistenza di intorno tubolare, e approssimazioni lisce di applicazioni continue).

22. 18/12/2025 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Teorema di Approssimazione di Whitney: ogni funzione continua da una varietà liscia a R^k è δ-vicina a una funzione liscia. Corollario: data una funzione continua e positiva δ su una varietà esiste una funzione lisca, positiva e inferiore a δ su tale varietà. Definizione di spazio normale ad una sottovarietà di R^n e di fibrato normale. Il fibrato normale è una sottovarietà liscia di T_{ R^n}, e la proiezione naturale è liscia, suriettiva e submersiva. Definizione di intorno tubolare.

23. 08/01/2026 Aula Picone 15:00 - 17:00
    Richiami su fibrato normale di una sottovarietà di R^n e sulla definizione di intorno tubolare. Ogni sottovarietà di R^n ammette un intorno tubolare. Data una sottovarietà di R^n e un suo intorno tubolare esiste una retrazione liscia e submersiva dell'intorno sulla varietà.

24. 13/01/2026 Aula Picone 14:00 - 16:00
    Esercizi: struttura di sottovarietà del gruppo ortogonale, del gruppo ortogonale speciale, del gruppo unitario e del gruppo unitario speciale.

25. 15/01/2026 Aula Picone 14:00 - 16:00
    Esercizi: diffeomorfismo tra SO(3,R) e RP^3, campo vettoriale con un unico zero sulla sfera, immersione di Plücker di G(2,4).