Un breve tour alle pendici della geometria diofantea

A.A. 2018/2019

II semestre, 10 ore.

Minicorso per il percorso di eccellenza della Laurea Triennale in Matematica.

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Cliccando qui troverete il testo d'esame dell'appello unico del 13/05/2019.

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Programma di massima.

Ci proponiamo di discutere alcune questioni di base di geometria aritmetica.

Definizioni di base, punti razionali e interi. Punti razionali sulle coniche, terne pitagoriche, Ultimo Teorema di Fermat per n=4.

Numeri p-adici, il principio locale-globale per le coniche, Teorema di Minkowski.

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Testi consigliati:

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Diario delle lezioni

25/03/2019 (Aula C, ore 11:00-13:00)

Panoramica introduttiva. Curve piane affini e proiettive su un campo, punti k-razionali. Punti interi e razionali su rette affini definite sugli interi e sui razionali, parametrizzazione razionale. Coniche definite sui razionali. Parametrizzazione razionale di una conica definita sui razionali che possiede un punto razionale.

08/04/2019 (Aula C, ore 11:00-13:00)

Significato della parola "generico" in geometria algebrica, ancora sulla parametrizzazione razionale di coniche piane con un punto razionale. Parametrizzazione razionale in azione sulla circonferenza goniometrica e applicazioni: terne pitagoriche, Ultimo Teorema di Fermat per n=4. Esempio di conica piana senza punti razionali, ostruzione in aritmetica modulare. Enunciato vago del Teorema di Minkowski.

15/04/2019 (Aula C, ore 11:00-13:00)

Numeri p-adici. Valutazioni non archimedee, esempi di successioni razionali di Cauchy in norma p-adica che convergono e non. Struttura dei p-adici, valori assunti dalla valutazione, interi p-adici, unità. Convergenza p-adica delle serie, criterio necessario e sufficiente, approssimazione degli interi p-adici. 

06/05/2019 (Aula C, ore 11:00-13:00)

Struttura della dimostrazione del Teorema di Minkowski: diagonalizzazione sui razionali, geometria dei reticoli in R^n, obiettivo di costruzione di un opportuno reticolo mediante le condizioni p-adiche.

13/05/2018 (Aula Picone, ore 11:00 - 13:00)

Uso della condizione di risolubilità p-adica per la costruzione di un opportuno reticolo, conclusione. Idea geometrica della nomenclatura "locale-globale".