Geometria I

A.A. 2022/2023

II semestre, 60 ore (parte teorica), per matematici, canale 1.

Le 24 ore di esercitazioni saranno tenute dal Prof. Paolo Bravi.

Attività di supporto

1. A partire dal lunedì 3 aprile 2023, ogni lunedì dalle 15:00 alle 17:00, fino alla fine del periodo di lezione, Gabriele Viaggi terrà un'attività di tutoraggio via G-Meet. Il link per partecipare è 

https://meet.google.com/nmz-iozb-nsp

2. Tutoraggio di Algebra Lineare, a cura di Lorenzo Cortelli. Ogni martedì dalle 17:00 alle 19:00 in Aula I.

Modalità logistiche d'esame

La prova scritta d'esame è in presenza. Le iscrizioni agli appelli chiudono inderogabilmente due settimane prima della data d'esame.

Gli iscritti ai vari appelli riceveranno a tempo debito una email sull'indirizzo di posta istituzionale con le informazioni per la convocazione (aula, orari, ecc...).

Durante la prova scritta è indispensabile essere muniti di un documento di identità (con fotografia) in corso di validità, che sarà controllato durante la prova.

Si può portare con sé: la/le penna/e, eventualmente acqua e snack, e un foglio bianco formato A4 con scritto sopra (a mano o stampato) fronte-retro qualunque cosa riteniate opportuno vi possa aiutare (formule, esempi, enunciati, ecc...). Non è ammesso portare con sé altro.

Suggerisco l'uso della mascherina di tipo FFP2.

Chi ottiene alla prova scritta un voto superiore o uguale a 18 dovrà obbligatoriamente svolgere la prova orale. 

Chi riporta alla prova scritta una votazione inferiore a 18 non potrà accedere alla prova orale e dovrà quindi ripresentarsi ad un appello successivo. 

Importante. Se siete esenti dalla vaccinazione anti Covid-19 o nella categoria degli studenti fragili, oppure se nei giorni immediatamente precedenti alla prova scritta (ivi compresa la mattina stessa dello scritto) doveste rendervi conto che non potrete partecipare alla prova scritta in presenza perché in isolamento o in quarantena, vi prego di contattarmi immediatamente per email. 

Per ovvi motivi di privacy, non siete tenuti a dirmi (né voglio sapere) per quale ragione non potete partecipare alla prova scritta, ma dovrete dichiarare esplicitamente di rientrare in una delle categorie previste: studenti fragili, in isolamento, in quarantena, o esenti dalla vaccinazione anti Covid-19, consci del fatto che dichiarare il falso ad un pubblico ufficiale (nella fattispecie io in qualità di commissario d'esame) è reato (Art. 495 Codice Penale).

Per coloro i quali non potranno partecipare alla prova scritta in presenza per i motivi di cui sopra, ma che vogliono comunque sostenere l'esame, ci metteremo d'accordo per sostenere un esame alternativo nei giorni immediatamente successivi alla prova scritta.

Tale esame si svolgerà come segue. Si tratterà di una prova unicamente orale (da remoto se i motivi continuano a sussistere, oppure in presenza se i motivi cessano di sussistere) in cui vi farò svolgere uno o due esercizi dal vivo in diretta, e in cui le domande verteranno unicamente sullo svolgimento degli esercizi stessi (cioè, una sorta di prova scritta ma in versione orale).  Se a questa prima parte dell'esame si ottiene una votazione sufficiente, si procederà con l'orale vero e proprio.

In bocca al lupo a tutti!

Testi consigliati

• E. Sernesi, "Geometria 1", seconda edizione riveduta e ampliata. Bollati Boringhieri.

• M. Artin, "Algebra". Bollati Boringhieri.

• E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria". Unitext Springer.

Prove di esame

• Testo della prova bonus de 17/04/2023. In questa versione la risposta corretta è sempre la A. Cliccando qui troverete i risultati della prova. N.B. Per regolarsi, il "18" corrisponde ad un punteggio di 7,2. 

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 26/06/2023, con una possibile soluzione degli esercizi. 

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 18/07/2023, con una possibile soluzione degli esercizi.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 06/09/2023, con una possibile soluzione degli esercizi.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 18/09/2023 (ringrazio F. L. Barbini per avermi segnalato un errore in una precedente versione delle soluzioni), con una possibile soluzione degli esercizi.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame (appello straordinario) del 07/11/2023, con una possibile soluzione degli esercizi.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta d'esame del 17/01/2024, con una possibile soluzione degli esercizi.

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1 - prodotti scalari.

• Foglio di esercizi n° 2 - isometrie lineari e operatori autoaggiunti.

• Foglio di esercizi n°3 - spazi hermitiani e operatori normali.

• Foglio di esercizi n°4 - forme bilineari e forme quadratiche.

• Foglio di esercizi facoltativo su forme sesquilineari e hermitiane.

• Foglio di esercizi n° 5 - spazi affini & euclidei.

• Foglio di esercizi n° 6 - spazi proiettivi.

Note e appunti

• Appunti sull'interazione tra spazi vettoriali reali e complessi (note delle lezioni del 14-16/03/2023).

• Appunti su spazi vettoriali hermitiani e operatori normali (note delle lezioni del 21-23-28/03/2023).

• Appunti su forme bilineari e forme quadratiche (complementi a quanto presente sul libro di testo, note della lezione del 04/04/2023).

• Appunti sulla polarità (note di parte della lezione del 01/06/2023).

Diario di bordo

1. 28/02/2023, 11:00 - 14:00. Introduzione al corso, alla modalità d'esame, ecc. Motivazione geometria per il prodotto scalare, Teorema di Carnot, prodotto scalare di vettori geometrici. Definizione di prodotto scalare, esempi, prime proprietà, spazi vettoriali euclidei. Norma, distanza. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, diseguaglianza triangolare.

2. 01/03/2023, 09:00 - 11:00. Un insieme di vettori non nulli a due a due ortogonali è linearmente indipendente. Basi ortogonali e ortonormali, coefficienti di Fourier rispetto a una base ortogonale. Ortogonale di un sottoinsieme, somma diretta ortogonale, dato un sottospazio di uno spazio vettoriale euclideo il suo ortogonale decompone lo spazio in somme diretta ortogonale, proiezioni ortogonali, esempio di proiezione ortogonale su un piano di R^3 rispetto al prodotto scalare canonico.

3. 02/03/2023, 14:00 - 16:00. Restrizione di un prodotto scalare a un sottospazio. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, completamento di una base ortogonale di un sottospazio a una base ortogonale di tutto lo spazio, esempio. La proiezione ortogonale su un sottospazio minimizza la distanza dal sottospazio. Isometrie lineari, definizione, iniettività. Le isometrie lineari di uno spazio vettoriale euclideo formano un sottogruppo del gruppo lineare. Un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo è un'isometria lineare se e solo se la matrice ad esso associata in una base ortonormale ha inversa uguale alla trasposta (cioè appartiene al gruppo ortogonale).

4. 07/03/2023, 11:00 - 14:00. Rotazioni nel piano e nello spazio euclideo. Caratterizzazione delle matrici in SO(2,R) e SO(3,R). Determinante e spettro di una isometria lineare. Riflessioni (ortogonali) rispetto a un sottospazio, e loro relazione funzionale con la proiezione sul sottospazio ortogonale. Isometrie di una spazio vettoriale euclideo di dimensione 2 o 3. Esempi. Ricapitolazione delle varie caratterizzazioni delle isometrie lineari. Definizione di operatore aggiunto di un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo. Isomorfismo canonico di uno spazio vettoriale euclideo con il suo duale. Unicità dell'aggiunto. Accenno di esistenza.

5. 08/03/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 1.

6. 09/03/2023, 14:00 - 16:00. Esistenza dell'operatore aggiunto via l'operatore duale e l'isomorfismo canonico con lo spazio duale dato dal prodotto scalare. La matrice associata all'operatore aggiunto in una base ortonormale è la trasposta della matrice associata all'operatore. Operatori autoaggiunti, l'esempio delle proiezioni ortogonali. Combinazione lineare di operatori autoaggiunti è autoaggiunto. Enunciato del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti reali in termini di esistenza di una base ortonormale di autovettori e in termini di decomposizione in somma pesata di proiettori ortogonali. La restrizione di un operatore autoaggiunto a un sottospazio stabile è autoaggiunto, l'ortogonale di un sottospazio stabile per un operatore autoaggiunto è ancora stabile, ad autovalori distinti di un operatore autoaggiunto corrispondono autovettori ortogonali.

7. 14/03/2023, 11:00 - 14:00. Dimostrazione del Teorema Spettrale (reale), metodo "variazionale" per la ricerca del più piccolo autovalore, enunciato del Teorema Spettrale per matrici simmetriche reali. Spazi vettoriali complessi e loro spazio vettoriale reale soggiacente, l'automorfismo reale J dato dalla moltiplicazione per l'unità immaginaria, sua anti-involutività. L'esempio di C e R^2. Base reale canonicamente associata a una base complessa via J. Gli spazi vettoriali reali soggiacenti a uno spazio vettoriale complesso posseggono un'orientazione canonica.

8. 15/03/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari della prima parte del Foglio 2.

9. 16/03/2023, 14:00 - 16:00. Spazi vettoriali quasi complessi, equivalenza tra spazi vettoriali complessi e spazi vettoriali quasi complessi. Un operatore R-lineare tra due spazi vettoriali quasi complessi è C-lineare se e solo se commuta con le strutture quasi complesse. Rappresentazione reale di una matrice complessa, rappresentazione reale standard di GL(n,C). Caratterizzazione della C-linearità per un operatore R-lineare tra spazi vettoriali quasi complessi in termini matriciali via la rappresentazione reale di matrici complesse. Esempi. Spazio vettoriale coniugato di uno spazio vettoriale complesso. Complessificazione di uno spazio vettoriale reale, e di un operatore lineare.

10. 21/03/2023, 11:00 - 14:00. Prodotto hermitiano canonico in C^n come motivazione per introdurre il prodotto hermitiano. Definizione di prodotto hermitiano, spazi vettoriali hermitiani, esempi. Corrispondenza biunivoca tra spazi vettoriali hermitiani e spazi vettoriali quasi complessi euclidei tali che la struttura complessa è un'isometria lineare, 2-forma fondamentale associata a un prodotto hermitiano. Esempio: struttura hermitiana sul complessificato di uno spazio vettoriale euclideo. Lista di definizioni e proprietà per gli spazi vettoriali hermitiani ricalcate sugli spazi vettoriali euclidei, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz hermitiana. Definizione di isometria lineare in uno spazio vettoriale hermitiano, di gruppo unitario e unitario speciale, caratterizzazione delle isometrie lineari in termini della matrice associata in una (qualsiasi) base unitaria. La complessificazione di un'isometria lineare di uno spazio vettoriale euclideo è un'isometria lineare per la struttura hermitiana indotta. Esempio: la complessificazione di una rotazione di R^2.

11. 22/03/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari della seconda parte del Foglio 2.

12. 23/03/2023, 14:00 - 16:00. L'ortogonalità hermitiana è strettamente più forte dell'ortogonalità euclidea soggiacente. Operatore aggiunto hermitiano, sua matrice in una base unitaria. Un operatore lineare è una isometria hermitiana se e solo se il suo inverso è uguale al suo aggiunto. Definizione di operatore normale, esempi: operatori autoaggiunti sono normali, isometrie lineari sono normali, operatori anti-autoaggiunti sono normali, combinazione C-lineare di proiezioni ortogonali che commutano a due a due ortogonali è normale, esempio di un operatore normale che non è né autoaggiunto, né anti-autoaggiunto, né una isometria. Un operatore è normale se e solo se il suo aggiunto lo è, se e solo se la sua parte autoaggiunta commuta con la sua parte anti-autoaggiunta, se e solo se ||T(v)||=||T*(v)||. Se T è normale allora abbiamo una decomposizione in somma diretta ortogonale dello spazio ambiente come nucleo più immagine dell'operatore. Se v è un autovettore per un operatore normale, allora lo è anche per il suo aggiunto, con autovalore coniugato, e ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali. 

13. 28/03/2023, 11:00 - 14:00. Se un sottospazio è stabilizzato da un operatore normale, allora anche il sottospazio ortogonale viene stabilizzato. Restrizione di operatori normali a sottospazi stabili è ancora normale. Teorema Spettrale per operatori normali: formulazione in termini di diagonalizzazione unitaria e di decomposizione come combinazione lineare complessa di proiettori ortogonali che commutano a due a due. Caratterizzazione spettrale degli operatori normali che sono autoaggiunti (risp. anti-autoaggiunti, isometrie lineari). Applicazione: forma canonica delle isometrie lineari di uno spazio vettoriale euclideo (manca la parte finale della dimostrazione): coniugio canonico nel complessificato di uno spazio vettoriale, un sottospazio stabile per coniugio è la complessificazione di un sottospazio dello spazio vettoriale reale di partenza, sottospazi coniugati ammettono basi coniugate, somma diretta di sottospazi coniugati ammette base reale. Preparazione di una base unitaria di autovettori per la complessificazione di un'isometria lineare euclidea.  Esempio in R^3.

14. 29/03/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 3.

15. 30/03/2023, 14:00 - 16:00. Fine della dimostrazione della forma canonica per isometrie lineari euclidee. Forme bilineari e forme quadratiche, esempi. Forme bilineari simmetriche, alternanti e anti-simmetriche. Decomposizione di una forma bilineare in parte simmetrica e anti-simmetrica e corrispondenza 1:1 tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche in caratteristica diversa da 2. Spazi quadratici, rappresentabilità di un elemento del campo mediante una forma quadratica, rappresentabilità  di 1 (terne pitagoriche) e non rappresentabilità di 3 mediante la forma quadratica standard su Q^2. Ortogonalità, radicale, vettori isotropi, esempio del piano iperbolico.

16. 04/04/2023, 11:00 - 14:00. Rango di una forma bilineare simmetrica, interpretazione via l'applicazione indotta verso il duale, ortogonalità vs spazio annullatore. Matrice di Gram come matrice associata a una forma bilineare e come matrice associata all'applicazione indotta verso il duale, trasformazione della matrice di Gram per cambio di base, relazione di congruenza. Interpretazione del rango e del radicale via la matrice di Gram. La restrizione di una forma bilineare non degenere non è necessariamente non degenere, se una forma bilineare simmetrica è non degenere in restrizione a un sottospazio allora l'ortogonale di tale sottospazio è supplemento ortogonale. Basi ortogonali, il piano iperbolico in caratteristica 2 non ammette basi ortogonali, una forma bilineare simmetrica in caratteristica diversa da 2 ammette sempre una base ortogonale, coefficienti di Fourier per una base ortogonale di una forma bilineare simmetrica non degenere e proiezioni ortogonali. Il rango è un invariante completo per la classe di congruenza quando il campo è algebricamente chiuso e di caratteristica diversa da 2.

17. 05/04/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 3.

18. 12/04/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 4.

19. 13/04/2023, 14:00 - 16:00. Esempio in dettaglio su come trovare una base ortogonale per una forma bilineare simmetrica su R^3, e su come questo possa essere usato per trovare un cambio lineare di coordinate che trasformi un polinomio omogeneo di secondo grado in forma "normale" (cioè come somma pesata di quadrati). Segnatura di una forma bilineare simmetrica definita su un sottocampo di R, la definizione è ben posta. Enunciato del Teorema di Sylvester per forme bilineari simmetriche reali.

20. 18/04/2023, 11:00 - 13:00. Dimostrazione del Teorema di Sylvester, tecnica per stabilire la segnatura via il Teorema Spettrale, Criterio di Cartesio. Introduzione alla geometria affine, esempi motivanti. Definizione di spazio affine su di uno spazio vettoriale (versione con differenza di punti e versione con somma di un punto e di uno "spostamento"), vari esempi di spazi affini, definizione di sottospazio affine.

21. 20/04/2023, 14:00 - 16:00. Intersezione di sottospazi affini, spazio affine generato. Esempi di sottospazi affini generati: il caso di un numero finito di punti, indipendenza affine, il caso dell'unione di due sottospazi affini. Formula di Grassmann affine. Sistemi di riferimento affini, coordinate affini. Esempi vari: equazioni cartesiane e parametriche, retta per due punti, allineamento di tre punti, posizioni reciproche di due rette nel piano.

22. 26/04/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 4 e dal Foglio 5.

23. 27/04/2023, 14:00 - 16:00. Definizione di applicazione affine tra spazi affini, esempi: le applicazioni costanti, le traslazioni, le omotetie. Due applicazioni affini hanno stessa parte lineare se e solo se "differiscono" per una traslazione. Un'applicazione affine è completamente descritta dall'immagine di un (qualunque punto) e dalla sua parte lineare. Descrizione delle applicazioni affini tra spazi affini numerici su k, descrizione delle applicazioni affini in coordinate una volta fissati riferimenti affini in partenza e in arrivo. Esistenza e unicità di applicazioni affini con valori assegnati su un insieme affinemente indipendente massimale. Gruppo delle affinità di uno spazio affine, cos'è la geometria affine. Due triangoli sono sempre affinemente equivalenti.

24. 02/05/2023, 11:00 - 13:00. Coniche affini reali, definizione, forma canonica affine di ellisse/sfera, iperbole, parabola. Comprensione su di un esempio esplicito del procedimento per determinare la forma canonica affine. Discussione sulla classificazione delle coniche affini reali. Definizione di spazio euclideo, distanze ed angoli, proiezione ortogonale su un sottospazio affine, cenni su distanza punto-retta/piano, tra rette parallele, tra piani paralleli, tra una retta e un piano paralleli. Definizione di isometria.

25. 03/05/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 5.

26. 04/05/2023, 14:00 - 16:00. Sistemi di riferimento cartesiani di uno spazio euclideo. Un'isometria di uno spazio euclideo è un'affinità con parte lineare un'isometria lineare dello spazio vettoriale soggiacente. Esempi. Classificazione delle isometrie di un piano euclideo (cf. M. Artin "Algebra", Cap. 5, Teorema 2.2.).

27. 09/05/2023, 11:00 - 13:00. Conclusione della dimostrazione del teorema di classificazione delle isometrie di un piano euclideo. Postulati euclidei, negazione del quinto postulato, cenni alla geometria iperbolica ed ellittica: il semipiano superiore di Poincaré, la geometra su una sfera, il problema dei punti antipodali per l'unicità delle rette per due punti distinti. Lo spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale, visualizzazione immaginifica della retta e del piano proiettivo reale. Sottospazi proiettivi, loro dimensione e nomenclatura. Due rette distinte su un piano proiettivo si intersecano in uno e un sol punto. Coordinate omogenee fissata una base dello spazio vettoriale che si proiettifica. Funzioni omogenee delle coordinate omogenee hanno un ben definito luogo di zeri.

28. 10/05/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 5.

29. 11/05/2023, 14:00 - 16:00. Riassunto della puntata precedente. Sistemi di riferimento proiettivi, punti fondamentali e punto unità, punti in posizione generale, interpretazione geometrica in dimensione uno e due, per cinque punti in posizione generale del piano proiettivo passa una e una sola conica non degenere. Corrispondenza tra sistemi di riferimento proiettivi e punti (nel numero giusto) in posizione generale. Intersezione di sottospazi proiettivi, sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme, formula di Grassmann proiettiva. Descrizione di sottospazi proiettivi tramite equazioni parametriche e cartesiane.

30. 16/05/2023, 11:00 - 14:00. Cambiamento di coordinate/riferimento proiettivo, il gruppo PGL(n+1,k), esempio esplicito in P^1_R. Struttura affine e coordinate affini sul complementare di un iperpiano proiettivo, indipendenza della struttura affine dalla scelta della base. Esempio: cardinalità di spazi proiettivi su di un campo finito, il gioco del Dobble. Spazi proiettivi come completamento/compattificazione di spazi affini, punti propri e impropri, interpretazione su R e su C dei punti impropri come punti "all'infinito", la proiezione stereografica e la sfera di Riemann. Omogenizzazione di un'equazione lineare in due variabili, interpretazione informale come "chiusura proiettiva".   

31. 17/05/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: primi esercizi dal Foglio 6.

32. 18/05/2023, 14:00 - 16:00. Riepilogo ed esempi sul proiettivo come completamento dello spazio affine, chiusura proiettiva di un sottospazio affine, omogenizzazione e disomogenizzazione di equazioni cartesiane per un sottospazio, esempi. Omogenizzazione di coniche affini, definizione di quadrica proiettiva, un polinomio omogeneo di grado 2 si trasforma in un polinomio omogeneo di grado 2 via un cambiamento lineare di coordinate.

33. 23/05/2023, 11:00 - 14:00. Quadriche proiettive e forme quadratiche, i punti di una quadrica proiettiva sono le direzioni di isotropia delle forma quadratiche associate. Classificazione proiettiva delle quadriche su un campo algebricamente chiuso. Le due schiere di rette su una superficie quadrica non degenere, immersione di Segre. Classificazione proiettiva delle quadriche reali, con particolare attenzione alle coniche. Per cinque punti sul piano proiettivo passa almeno una conica, se i cinque punti sono in posizione generale allora ne passa una e una sola non degenere. Definizione di applicazione proiettiva, esempi. Due applicazioni lineari inducono la stessa applicazione proiettiva se e solo se sono una multipla non nulla dell'altra. Esempio: la proiezione da un punto su di un iperpiano proiettivo.

34. 24/05/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 6.

35. 25/05/2023, 14:00 - 16:00. Ripresa: la proiezione da un punto su di un iperpiano proiettivo. Più generalmente, la proiezione su un sottospazio proiettivo di centro un altro sottospazio proiettivo che non lo interseca (e di dimensione appropriata) è una trasformazione proiettiva degenere. La restrizione di una trasformazione proiettiva degenere ad un sottospazio proiettivo che non interseca il luogo di non definizione è una trasformazione proiettiva non degenere. Caso particolare: le prospettività. Il Teorema Fondamentale delle Trasformazioni Proiettive.

36. 30/05/2023, 11:00 - 14:00. Ripresa: il Teorema Fondamentale delle Trasformazioni Proiettive e la sua dimostrazione. Conseguenze: una proiettività che fissa n+2 punti in posizione generale è l'identità, un isomorfismo proiettivo tra due rette piane che fissa il loro punto di intersezione è una prospettività, definizione del birapporto. Isomorfismi proiettivi, il gruppo proiettivo lineare. Rappresentazione proiettiva del gruppo delle affinità: come estendere un'affinità a una proiettività che fissa l'iperpiano all'infinito, una proiettività che fissa un iperipiano si restringe ad un'affinità del complementare. Esempi. Il Teorema di Desargues (dimostrazione del "solo se"). Corrispondenza di dualità tra i sottospazi di uno spazio proiettivo e quelli del suo duale, comportamento della corrispondenza di dualità rispetto alle dimensioni, all'inclusione, all'intersezione e al sottospazio proiettivo generato. Esempio di corrispondenza piana: tre punti allineati corrispondono a tre rette concorrenti in un punto.

37. 31/05/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 6.

38. 01/06/2023, 14:00 - 16:00. Il "se" del Teorema di Desargues via il principio di dualità. Coordinate proiettive sullo spazio proiettivo duale, nozione di iperpiani in posizione generale. Il principio di dualità accoppiato con un isomorfismo tra lo spazio vettoriale che si proiettivizza e il suo duale. Caso particolare in cui l'isomorfismo è dato da una forma bilineare simmetrica non degenere: polarità. Interpretazione geometrica della polarità su un piano proiettivo utilizzando la conica definita dalla forma quadratica associata alla forma bilineare simmetrica non degenere: il caso di campo algebricamente chiuso e rapida discussione del caso reale.

39. 06/06/2023, 11:00 - 13:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 6.

40. 07/06/2023, 09:00 - 11:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 6.

41. 08/06/2023, 14:00 - 16:00. Esercitazioni: esercizi vari dal Foglio 6. Arringa conclusiva: dove si va da qui?