Geometria I

A.A. 2023/2024

II semestre, 60 ore (parte teorica), per matematici, canale 2.

Le 24 ore di esercitazioni saranno tenute dal Prof. Paolo Bravi.

Modalità logistiche d'esame

La prova scritta d'esame è in presenza. Le iscrizioni agli appelli chiudono inderogabilmente due settimane prima della data d'esame.

Gli iscritti ai vari appelli riceveranno a tempo debito una email sull'indirizzo di posta istituzionale con le informazioni per la convocazione (aula, orari, ecc...).

Durante la prova scritta è indispensabile essere muniti di un documento di identità (con fotografia) in corso di validità, che sarà controllato durante la prova.

Si può portare con sé (anche agli esoneri): la/le penna/e, eventualmente acqua e snack, e un foglio bianco formato A4 con scritto sopra (a mano o stampato) fronte-retro qualunque cosa riteniate opportuno vi possa aiutare (formule, esempi, enunciati, ecc...). Non è ammesso portare con sé altro. Stesse regole valgono per gli esoneri.

Chi ottiene alla prova scritta un voto superiore o uguale a 18 dovrà obbligatoriamente svolgere la prova orale. 

Chi riporta alla prova scritta una votazione inferiore a 18 non potrà accedere alla prova orale e dovrà quindi ripresentarsi ad un appello successivo. 

Sono previsti due esoneri, uno a metà semestre ed uno a fine corso. Per essere esonerati dalla prova scritta (unicamente per la sessione estiva) è necessario aver ottenuto la sufficienza in entrambi gli esoneri, nel qual caso si accede all'esame orale con una votazione pari alla media aritmetica dei voti dei due esoneri.  

In bocca al lupo a tutti!

Testi consigliati

• Note del docente, qui sotto.

• E. Sernesi, "Geometria 1", seconda edizione riveduta e ampliata. Bollati Boringhieri.

• M. Artin, "Algebra". Bollati Boringhieri.

• E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria". Unitext Springer.

Tutoraggio

Il tutore assegnato per questo corso è il Dott. Matteo Micheli.

Il tutoraggio si svolgerà il martedì dalle 14:00 alle 16:00 in Aula T. Levi-Civita (a partire da martedì 12 marzo 2024). 

Cliccare qui per accedere al modulo Google per la raccolta presenze.

Prove di esame

• Appello straordinario del 17/04/2024, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni.

• Esonero del 22/04/2024, cliccando qui troverete il testo (qui le domande a risposta multipla) e una proposta di soluzioni.

• Esonero del 06/06/2024, cliccando qui troverete il testo degli esercizi a risposta aperta (qui le domande a risposta multipla; in questa versione la risposta corretta è sempre la prima) e qui una proposta di soluzioni.

• Appello del 26/06/2024, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni. 

• Appello del 18/07/2024, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni.

• Appello del 04/09/2024, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni. 

• Appello del 16/09/2024, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni. 

• Appello straordinario del 04/11/2024, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni. 

• Appello del 15/01/2025, cliccando qui troverete il testo d'esame e una proposta di soluzioni.

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1, Spazi affini.

• Foglio di esercizi n° 2, Prodotti scalari.

• Foglio di esercizi n° 3, Isometrie lineari e Spazi euclidei.

• Foglio di esercizi n° 4, Operatori autoaggiunti.

• Foglio di esercizi n° 5, Spazi vettoriali hermitiani.

• Foglio di esercizi n° 6, Forme bilineari e quadratiche.

• Foglio di esercizi n° 7, Spazi proiettivi.

Note e appunti

Cliccando qui troverete le note (manoscritte) del corso.

Diario di bordo

1. 28/02/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
   Introduzione al corso, modalità di esame, logistiche varie. Introduzione agli spazi affini, esempio motivante, definizione di spazio affine, dimensione, esempi.

2. 29/02/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00.
   Traslazioni in uno spazio affine, sistemi di riferimento affini, coordinate affini, cambio di coordinate tra due sistemi di riferimento affine. Sottospazi affini, giacitura e dimensione. Esempi. L'intersezione di una collezione di sottospazi affini è un sottospazio affine se non vuota. Sottospazio affine generato da un sottoinsieme di uno spazio affine.

3. 04/03/2024 Aula V. Volterra 08:00 - 11:00.
   Il sottospazio affine generato da un numero finito di punti, indipendenza affine, equivalenza tra sistemi di riferimento affini e (il giusto numero di) punti ordinati affinemente indipendenti, esempi, allineazione, complanarità, struttura astratta di spazio affine su un sottospazio affine. Il sottospazio affine generato dall'unione di die sottospazi affini, Formula di Grassmann affine, parallelismo, incidenza, sottospazi sghembi, il V Postulato di Euclide vale negli spazi affini. Il Teorema di Talete.

4. 06/03/2024 Aula V. Volterra 11:00 - 13:00.
   Equazioni cartesiane e parametriche per un sottospazio affine fissato un riferimento affine, esempio. Definizione di applicazione affine, unicità della parte lineare. Esempi di applicazioni affini: l'applicazione costante, l'identità, le traslazioni, le omotetie, l'applicazione "coordinate affini", applicazione lineare seguita da una traslazione tra due spazi vettoriali visti con la loro struttura canonica di spazio affine.

5. 07/03/2025 Aula V. Volterra 12:00 - 14:00 (esercitazioni).
   Esercizi vari dal Foglio 1.

6. 11/03/2024 Aula V. Volterra 08:00 - 11:00.
   Le applicazioni affini tra due spazi vettoriali visti con la loro struttura canonica di spazio affine sono tutte e sole le applicazioni lineari seguite da una traslazione, caso particolare degli spazi affini numerici. L'applicazione affine di proiezione su un sottospazio affine parallelamente ad un sottospazio vettoriale in somma diretta con la giacitura del sottospazio su cui si proietta. Proprietà delle applicazioni affini: l'immagine di un sottospazio affine è un sottospazio affine, la preimmagine di un sottospazio affine è un sottospazio affine se non vuota, l'inversa di un'applicazione affine biunivoca è un'applicazione affine di parte lineare l'inversa della parte lineare dell'applicazione di partenza (en passant, un'applicazione affine è iniettiva se e solo se la sua parte lineare lo è, ed è suriettiva se e solo se la sua parte lineare lo è), la composizione di applicazioni affini è un'applicazione affine. Il gruppo delle affinità di uno spazio affine, cosa vuol dire "fare della geometria affine": figure geometriche affinemente equivalenti, proprietà affini, esempi. Teorema Fondamentale delle Applicazioni Affini: un'applicazione affine è univocamente determinata dalla sua parte lineare e dall'immagine di un punto, esiste una e una sola applicazione affine che manda una (n+1)-upla ordinata di punti affinemente indipendenti di uno spazio affine di dimensione n in una (n+1)-upla ordinata di un'altro spazio affine.

7. 13/03/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
   Esempi di proprietà affini: cardinalità di un sottoinsieme finito, dimensione di un sottospazio affine, (m+1)-uple di punti linearmente indipendenti con m minore o uguale alla dimensione dello spazio affine. Scrittura in coordinate affine di un'applicazione affine, esempio. Esempio motivazionale per introdurre i prodotti scalari: il prodotto scalare tra vettori geometrici del piano. Trattasi di un'applicazione bilineare, simmetrica e "definita positiva" che permette di ricostruire la nozione di angoli e lunghezze.

8. 14/03/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
   Esercizi vari dal Foglio 1.

9. 18/03/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
   Definizione di prodotto scalare e spazio vettoriale euclideo. Esempi: prodotto scalare "geometrico", prodotto scalare canonico in R^n, prodotto L^2, la restrizione di un prodotto scalare ad un sottospazio fornisce una struttura di spazio vettoriale euclideo a quel sottospazio. Norma di un vettore, struttura di spazio metrico su uno spazio vettoriale euclideo, Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo convesso tra due vettori, diseguaglianza triangolare. Ortogonale di un sottoinsieme, relazione di inclusione tra ortogonali, ortogonale della somma e dell'intersezione di due sottospazi, un insieme di vettori non nulli e ortogonali a due a due è linearmente indipendente. Basi ortogonali e ortonormali, coefficienti di Fourier di un vettore rispetto ad una base ortogonale. Uno spazio vettoriale euclideo si decompone in somma diretta di un suo sottospazio e dell'ortogonale. Proiezione ortogonale su un sottospazio, costruzione della proiezione ortogonale in termini di una base ortogonale del sottospazio.

10. 20/03/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    La proiezione ortogonale realizza la minima distanza da un sottospazio. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempio di ortogonalizzazione in R^3, esempio di scrittura in coordinate standard di proiezione ortogonale su un sottospazio di R^3. Esempi di utilità pratica delle basi ortonormali: scrittura in coordinate ortonormali di un prodotto scalare, calcolo degli elementi della matrice associata ad un operatore lineare quando la base di arrivo è ortonormale, calcolo della traccia di un endomorfismo. Definizione di isometria lineare da uno spazio vettoriale euclideo ad un altro, le isometrie lineare sono iniettive, quando sono invertibili l'inversa è ancora un'isometria lineare, la composizione di isometrie lineari è lineare. Le isometrie lineari di uno spazio euclideo in sé formano un gruppo rispetto alla legge di composizione, detto gruppo ortogonale dello spazio vettoriale euclideo.

11. 21/03/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 1 e dal Foglio 2.

12. 25/03/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    La restrizione di un'isometria lineare a un sottospazio stabile è ancora una isometria lineare, e inoltre essa stabilizza l'ortogonale di questo sottospazio. Definizione del grouppo ortogonale O(n,R). Una applicazione lineare è una isometria lineare se e solo se la sua matrice associata in una base ortonormale in arrivo e ortonormale in partenza è una matrice ortogonale. Gli isomorfisi isometrici di uno spazio vettoriale euclideo hanno determinante di modulo uno. Gruppo ortogonale speciale. La matrice del cambio di coordinate tra due basi ortonormali è una matrice ortogonale. Descrizione delle matrici di O(2,R) e SO(2,R), rotazioni di un piano euclideo. Descrizione delle matrici in SO(3,R) come rotazioni di uno spazio euclideo. Riflessione ortogonale rispetto ad un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo, e suo determinante. Caso particolare: scrittura in coordinate standard della riflessione ortogonale di R^2 rispetto ad una retta per l'origine in termini dell'angolo che essa forma con l'asse delle ascisse.

13. 27/03/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Basi equiorientate di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita, orientazione di uno spazio vettoriale, trasformazioni lineari invertibili tra spazi vettoriali orientati che conservano/invertono l'orientazione. Rotazioni in senso antiorario in uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione due, rotazioni in senso antiorario attorno ad un asse diretto in uno spazio vettoriale euclideo orientato di dimensione tre, esempio. Definizione di spazio (affine) euclideo, sua struttura di spazio metrico. Definizione di isometria tra spazi euclidei (nel senso degli spazi metrici), un'applicazione affine tra spazi vettoriali euclidei la cui parte lineare sia un'isometria lineare è un'isometria. Una funzione tra spazi vettoriali euclidei che manda il vettore nullo nel vettore nullo e che è una isometria rispetto alle strutture di spazi metrici dei due spazi vettoriali è una isometria lineare.

14. 03/04/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Una funzione tra due spazi euclidei è un'isometria se e solo se è una trasformazione affine con parte lineare un'isometria lineare. Lo spazio euclideo numerico, sistemi di riferimento euclidei. Esempi di isometrie: rotazioni di centro un punto, traslazioni, rilfessioni ortogonali rispetto ad un sottospazio, un'isometria piana che preserva l'orientazione è una rotazione intorno ad un punto, oppure una traslazione. La composizione di due isometrie piane che preservano (risp. invertono) l'orientazione è una rotazione intorno ad un punto, oppure una traslazione. Distanza tra sottospazi affini, esistenza di punti che realizzano la distanza, costruzione effettiva.

15. 04/04/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 3.

16. 08/04/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 09:00.
    Proiezioni ortogonali su un sottospazio affine di uno spazio euclideo. Definizione di operatore autoaggiunto in uno spazio vettoriale euclideo. Esempi: l'identità e l'applicazione nulla, proiezioni ortogonali su un sottospazio vettoriale, matrici simmetriche, derivata seconda sullo spazio delle funzioni lisce a supporto compatto, combinazione lineare a coefficienti reali di operatori autoaggiunti. Enunciato del Teorema Spettrale (reale), un operatore è autoaggiunto se e solo se la sua matrice associata in una qualunque base ortonormale è simmetrica.

17. 08/04/2024 Aula F. Enriques 09:00 - 11:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 3.

18. 10/04/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    La restrizione di un operatore autoaggiunto a un sottospazio stabile è autoaggiunta, l'ortogonale di un sottospazio stabile per un operatore autoaggiunto è ancora stabile, l'inverso di un operatore autoaggiunto invertibile è autoaggiunto, ad autovalori distinti di un operatore autoaggiunto corrispondono autovettori ortogonali, un operatore autoaggiunto ha spettro non vuoto. Teorema Spettrale in fomra operatoriale e matriciale, decomposizione degli operatori autoaggiunti come combinazione lineare di proiezioni ortogonali.

19. 11/04/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 3 e dal Foglio 4.

20. 15/04/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Prodotti hermitiani (definiti positivi) su uno spazio vettoriale complesso, spazi vettoriali hermitiani, lunghezza e ortogonalità. Esempi: prodotto hermitiano canonico su C^n, prodotto hermitiano su spazi di matrici via la traccia, prodotto hermitiano su C^n associato ad una matrice del tipo trasposta per coniugata di una matrice invertibile. Ortogonale a un sottospazio e decomposizione in somma diretta ortogonale, basi ortogonali e unitarie. Proiezioni ortogonali, coefficienti di Fourier, ortogonalizzazione e unitarizzazione di Gram-Schmidt nel caso hermitiano, esempio. Il gruppo unitario e il gruppo unitario speciale, matrici hermitiane. Operatori autoaggiunti e isometrie lineari, loro caratterizzazione in termini della matrice associata in una base unitaria. Lo spettro di un operatore autoaggiunto è reale, lo spettro di un'isometria è contenuto nell'insieme dei numeri complessi di modulo uno. Operatori autoaggiunti e isometrie lineari quando ristretti ad un sottospazio stabile restano tali, l'ortogonale di un sottospazio stabile è stabile. Teorema Spettrale (hermitiano) per operatori autoaggiunti e isometrie lineari, in forma operatoriale e matriciale. Esempio: diagonalizzazione unitaria della matrice di rotazione piana reale.

21. 17/04/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Ripasso sui Teoremi Spettrali nel caso hermitiano. Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz nel caso hermitiano. Applicazione: forma "normale" di una isometria lineare reale.

22. 18/04/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 4 e dal Foglio 5.

23. 22/04/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Fine della dimostrazione di come ottenere la forma normale di una isometria lineare reale. Introduzione alle forme bilineari e quadratiche, semplici questioni di aritmetica delle forme quadratiche su Q. Definizione di forma bilineare e di forma quadratica, forma bilineare associata a una forma quadratica, forma quadratica associata ad una forma bilineare. Forme bilineari simmetriche, alternanti e antisimmetriche, equivalenza di alternante e antisimmetrico in caratteristica diversa da 2. Forma bilineare su k^n associata ad una matrice quadrata. La forma bilineare associata ad una forma quadratica è sempre simmetrica. Matrice di Gram associata ad una forma bilineare in una data base, formula del cambio di coordinate, matrici congruenti. Forma quadratica associata a un polinomio omogeneo di grado 2 in uno spazio vettoriale con una base data, esempio.

24. 24/04/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Ancora sulla forma quadratica associata a un polinomio omogeneo di grado 2 in uno spazio vettoriale con una base data. In caratteristica diversa da 2, decomposizione di una forma bilineare in parte simmetria e antisimmetrica, corrispondenza tra forme quadratiche e forme bilineari simmetriche. Come associare una funzione polinomiale omogenea di grado due a una forma quadratica, fissata una base. Ogni forma quadratica è la forma quadratica associata a una forma bilineare (in caratteristica 2 non necessariamente) simmetrica. Esempi espliciti sul passaggio da forma bilineare a forma quadratica e viceversa, matrice di Gram della parte simmetrica e antisimmetrica di una forma bilineare in termini della sua matrice di Gram. Nozione di ortogonalità e "lunghezza quadra" generalizzata per una forma bilineare simmetrica, basi ortogonali, relazione con la diagonalizzazione per congruenza della matrice di Gram, ortogonale di un sottospazio, radicale, vettori isotropi. Esempio di "geometria" legata a una forma bilineare simmetrica: forma di Minkowski in R^2. Esempio di forma bilineare simmetrica in caratteristica 2 che non ammette basi ortogonali. In caratteristica diversa da 2 ogni forma bilineare simmetrica ammette una base ortogonale.

25. 29/04/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Esempio esplicito di calcolo di base ortogonale per una forma bilineare simmetrica. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche equivalenti, equivalenza di forme bilineari simmetriche in termini di congruenza delle loro matrici di Gram. Rango di una forma bilineare simmetrica, calcolo del rango e del radicale in termini della matrice di Gram. Esempio esplicito di calcolo del radicale. Due forme bilineari simmetriche equivalenti hanno lo stesso rango. Esempio di due forme bilineari simmetriche reali aventi stesso rango ma non equivalenti. Due forme bilineari simmetriche su un campo algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2 che hanno lo stesso rango sono equivalenti. Dimostrazione e conseguenze in termini matriciali, di forme quadratiche, e di polinomi omogenei di grado 2.

26. 02/05/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 6.

27. 06/05/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Segnatura di una forma bilineare simmetrica reale, calcolo della segnatura utilizzando basi ortogonali. Teorema di Sylvester: due forme bilineari simmetriche reali sono equivalenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Versione matriciale e per forme quadratiche del Teorema di Sylvester. Dato uno spazio vettoriale munito di una forma bilineare simmetrica e un suo sottospazio, lo spazio vettoriale si decompone in somma diretta come somma del sottospazio più il suo ortogonale rispetto all forma se e solo se la restrizione della forma al sottospazio è non degenere. Coefficienti di Fourier per una forma bilineare non degenere. In uno spazio vettoriale euclideo, data un forma bilineare simmetrica esiste sempre una base ortonormale che sia anche ortogonale per la forma bilineare simmetrica data. Sottoprodotto: calcolo della segnatura di una forma bilineare simmetrica reale utilizzando la Regola di Cartesio sul polinomio caratteristico della matrice di Gram della forma.

28. 08/05/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Introduzione alla geometria proiettiva come modello di geometria non euclidea. Definizione di spazio proiettivo, dimensione e sottospazi. Intersezione di sottospazi proiettivi, sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme di uno spazio proiettivo, Formula di Grassmann proiettiva. In un piano proiettivo per due punti distinti passa una e una sola retta, e due rette distinte si intersecano sempre in un unico punto. Lo spazio proiettivo numerico n-dimensionale su un campo k, il piano proiettivo reale come quoziente della sfera identificando i punti antipodali. Un'applicazione lineare induce una funzione tra il proiettificati di dominio privato del proiettificato del nucleo e il proiettificato del codominio. 

29. 09/05/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 6.

30. 13/05/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Definizione di applicazione proiettiva, due applicazioni lineari una multiplo dell'altra inducono la stessa applicazione proiettiva, il cui dominio (massimale) è il complementare della proiettificazione del nucleo di tali applicazioni. Esempi: l'identità, l'applicazione costante definita al di fuori di un iperpiano proiettivo, le proiezioni su un sottospazio di centro un altro sottospazio (disgiunto dal precedente e della dimensione corretta), esempio esplicito di proiezione su una retta di centro un punto non appartenente a tale retta nel piano proiettivo numerico reale. Se due applicazioni lineari inducono la stessa applicazione proiettiva allora sono necessariamente una un multiplo non nullo dell'altra (dimostrazione quasi conclusa). Applicazioni proiettive degeneri e non degeneri. Esempio esplicito di trasformazione proiettiva non degenere della retta proiettiva numerica reale.

31. 15/05/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Fine della dimostrazione del fatto che se due applicazioni lineari inducono la stessa applicazione proiettiva allora sono necessariamente una un multiplo non nullo dell'altra, proiettività, gruppo delle proiettività PGL(V), caso particolare PGL(n+1,k). Sistemi di riferimento proiettivi: come scelta di un isomorfismo con uno spazio proiettivo numerico, come scelta di una base a meno di un multiplo non nullo, e relazione tra i due punti di vista. Punti in posizione generale, enunciato del Teorema Fondamentale delle Proiettività, conseguenza: dare un sistema di riferimento proiettivo in uno spazio proiettivo di dimensione n è equivalente a dare n+2 punti (ordinati) in posizione generale. 

32. 16/05/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 7.

33. 20/05/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Dimostrazione del Teorema fondamentale delle Trasformazioni Proiettive. Esempi espliciti di costruzione di applicazioni proiettive non degeneri, e di costruzione di un riferimento proiettivo dati n+2 punti in posizione generale. Una proiettività di una spazio proiettivo di dimensione n è l'identità se e solo se fissa n+2 punti in posizione generale. Prospettività, esempi espliciti.

34. 22/05/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Struttura di spazio affine sul complementare di un iperpiano proiettivo, coordinate affini, descrizione esplicita sullo spazio proiettivo numerico privato dell'iperpiano dato dall'annullarsi della prima coordinata omogenea. Corrispondenza tra sottospazi proiettivi non contenuti in un dato iperpiano e sottospazi affini del complementare di quell'iperpiano, chiusura proiettiva di un sottospazio affine. Descrizione di uno spazio proiettivo come spazio affine con l'aggiunta dei punti all'infinito. Intersezione all'infinito della chiusura proiettiva di due rette affini piane parallele.

35. 23/05/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 7.

36. 27/05/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00.
    Come passare da equazioni cartesiane per un sottospazio affine a equazioni cartesiane per la sua chiusura proiettiva, e viceversa. Esempi concreti, intersezione della chiusura proiettiva con l'iperpiano all'infinito. Corrispondenza tra le affinità e le proiettività che fissano l'iperpiano all'infinito. Il Teorema di Desargues.

37. 29/05/2024 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00.
    Finale (fuori programma d'esame). Classificazione affine, euclidea e proiettiva delle coniche piane reali. Classificazione affine e proiettiva delle coniche piane su un campo algebricamente chiuso.

38. 30/05/2024 Aula F. Enriques 12:00 - 14:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari dal Foglio 7.

39. 03/06/2024 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00 (esercitazioni)
    Esercizi vari di preparazione all'esonero e agli scritti d'esame.

IL CORSO È FINITO, ANDATE IN PACE.