La prova scritta d'esame è in presenza. Le iscrizioni agli appelli chiudono inderogabilmente dieci giorni prima della data d'esame.
Gli iscritti ai vari appelli riceveranno a tempo debito una email sull'indirizzo di posta istituzionale con le informazioni per la convocazione (aula, orari, ecc...).
Durante la prova scritta è indispensabile essere muniti di un documento di identità (con fotografia) in corso di validità, che sarà controllato durante la prova.
Si può portare con sé (anche agli esoneri): la/le penna/e, eventualmente acqua e snack, e un foglio bianco formato A4 con scritto sopra (a mano o stampato) fronte-retro qualunque cosa riteniate opportuno vi possa aiutare (formule, esempi, enunciati, ecc...). Non è ammesso portare con sé altro. Stesse regole valgono per gli esoneri.
Chi ottiene alla prova scritta un voto superiore o uguale a 18 dovrà obbligatoriamente svolgere la prova orale.
Chi riporta alla prova scritta una votazione inferiore a 18 non potrà accedere alla prova orale e dovrà quindi ripresentarsi ad un appello successivo.
Sono previsti due esoneri, uno a metà semestre ed uno a fine corso. Per essere esonerati dalla prova scritta (unicamente per la sessione estiva) è necessario aver ottenuto la sufficienza in entrambi gli esoneri, nel qual caso si accede all'esame orale con una votazione pari alla media aritmetica dei voti dei due esoneri.
In bocca al lupo a tutti!
Note del docente manoscritte, qui sotto.
Note del docente dattiloscritte, prossimamente su questi schermi.
E. Sernesi, "Geometria 1", seconda edizione riveduta e ampliata. Bollati Boringhieri.
M. Artin, "Algebra". Bollati Boringhieri.
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria". Unitext Springer.
Primo esonero, 10/04/2025 ore 14:30 in Aula T. Levi-Civita. Cliccando qui troverete la parte a risposta multipla (in questa versione la risposta corretta è sempre la prima); cliccando qui troverete gli esercizi a risposta "aperta" con una proposta di soluzioni.
Cliccando qui troverete la lista definitiva degli ammessi al secondo esonero, con relativo voto, integrata con la correzione di coloro i quali hanno ottenuto 2,75 al test a risposta multipla.
Appello straordinario del 28/04/2025. Cliccando qui troverete il testo d'esame e una possibile soluzione degli esercizi.
Secondo esonero, 09/06/2025 ore 14:30 in Aula T. Levi-Civita. Cliccando qui troverete la parte a risposta multipla (in questa versione la risposta corretta è sempre la prima); cliccando qui troverete gli esercizi a risposta "aperta" con una proposta di soluzioni.
RISULTATI: cliccando qui la lista degli esonerati dallo scritto della sessione estiva con il voto finale.
Appello del 30/06/2025. Cliccando qui troverete il testo d'esame e una possibile soluzione degli esercizi. Prossimamente i voti.
26/02/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Informazioni pratiche sul corso, ricevimento, modalità d'esame. Breve panoramica del corso. Esempio di (sotto)spazio affine: le soluzioni di un sistema lineare (non omogeneo) compatibile. Definizione astratta di spazio affine e primissime conseguenze.
27/02/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00
Esempi di spazi affini. Sistemi di riferimento affini.
03/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Ancora sui sistemi di riferimento affini, riferimento affine canonico in uno spazio affine numerico. Sottospazi affini, giacitura, dimensione, esempi. Esempio: come utilizzare un sistema di riferimento affine per descrivere un sottospazio in forma parametrica o cartesiana. Intersezione di sottospazi affini, sottospazio affine generato da un sottoinsieme. Il caso particolare di un numero finito di punti: dipendenza e indipendenza affine.
05/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Come calcolare lo spazio affine generato da un numero finito di punti. Esempi. Struttura di spazio affine su un sottospazio affine. Come calcolare il sottospazio affine generato dall'unione di due sottospazi affini, caso particolare in cui essi siano incidenti. Formula di Grassmann affine. Se la somma delle giaciture di due sottospazi affini coincide con l'intero spazio vettoriale su cui lo spazio affine in cui vivono è modellato, allora essi hanno intersezione non vuota, e l'intersezione è un singoletto se e solo se le due giaciture hanno inoltre intersezione nulla. La geometria affine soddisfa il postulato delle parallele.
06/03/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Primi esercizi dal Foglio 1.
10/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Cambio di coordinate affini, esempio. Teorema di Talete. Definizione di applicazione affine, unicità della parte lineare. Esempi: applicazioni costanti, identità, le traslazioni sono tutte e sole le applicazioni affini di parte lineare l'identità, omotetie.
12/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Altri esempi di applicazioni affini: coordinate affini, applicazione lineare seguita da una traslazione, caso particolare di spazi affini numerici, proiezione su un sottospazio affine parallelamente a un sottospazio vettoriale in somma diretta con la giacitura del sottospazio affine. Equivalenza tra dare un sistema di riferimento affine e dare n+1 punti ordinati e affinemente indipendenti in uno spazio affine di dimensione n. Le applicazioni affini sono determinante dalla loro parte lineare e dall'immagine di un punto.
17/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Esercizio sulle proiezioni affini. Iniettività e suriettività di una applicazione affine in termini della sua parte lineare, l'inversa di una applicazione affine invertibile è un'applicazione affine, composizione di applicazioni affini è affine, comportamento della parte lineare rispetto alla composizione, il gruppo delle affinità di uno spazio affine. Figure affinemente equivalenti, proprietà affini di una figura, tutti i triangoli sono affinemente equivalenti. Scrittura di un'applicazione affine in coordinate scelto un sistema di riferimento affine in partenza e uno in arrivo.
19/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Il prodotto scalare tra vettori geometrici del piano come intriduzione all'assiomatica di protoddo scalare. Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei. Esempi: prodotto nullo sullo spazio vettoriale banale, prodotto scalare canonico su R^n, prodotto scalare su R^n indotto da una matrice simmetrica non singolare del tipo A^t•A, esempio esplicito di prodotto scalare su uno spazio di polinomi, prodotto scalare L^2. Norma associata a un prodotto scalare, distanza associata a un prodotto scalare, ogni spazio vettoriale euclideo è uno spazio metrico, Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, nozione di angolo in uno spazio vettoriale euclideo, diseguaglianza triangolare.
20/03/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Altri esercizi dal Foglio 1.
24/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Dimostrazione della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, perpendicolarità tra sottoinsiemi, il perpendicolare a un sottoinsieme, un insieme finito di vettori non nulli a due a due ortogonali è linearmente indipendente, isomorfismo con lo spazio duale indotto da un prodotto scalare, perpendicolare e annullatore. L'ortogonale di un sottospazio ne è complemento diretto, proiezione ortogonale, basi ortogonali e ortonormali, scrittura esplicita di una proiezione ortogonale su un sottospazio dotato di una base ortogonale, caso particolare: coordinate di un vettore in una base ortogonale, coefficienti di Fourier. La proiezione ortogonale su un sottospazio realizza la distanza da quel sottospazio. Esempio: serie di Fourier troncata come proiezione ortogonale.
26/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempio. Basi ortonormali, espressione di un prodotto scalare in coordinate associate a una base ortonormale, come recuperare gli elementi della matrice di un endomorfismo utilizzando basi ortonormali. Definizione di isometrie lineari, loro iniettività, comportamento rispetto all'inversione e alla composizione, il gruppo ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo. Matrice associata ad un'isometria lineare in una base ortonormale, il gruppo delle matrici ortogonali. Determinante di un isometria lineare da uno spazio in sé, gruppo ortogonale speciale. L'identità è sempre un'isometria, l'applicazione coordinate in una base ortonormale dà un'isometria lineare dallo spazio vettoriale ad R^n dotato del prodotto scalare canonico. Come sono fatte le matrici in O(2,R).
27/03/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 2.
31/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Richiami sulla definizione e prime proprietà delle isometrie lineari. La matrice del cambio di coordinate tra due basi ortonormali è una matrice ortogonale. Riflessioni ortogonali rispetto a un sottospazio. Descrizione completa delle matrici in O(2,R) come rotazioni o riflessioni rispetto ad una retta, o come prodotto di due riflessioni rispetto ad una retta. Isometrie lineari di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 2. Descrizione completa delle matrici in SO(3,R). Ogni isometria lineare di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3 che ha determinante 1 è una rotazione.
02/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Orientazione di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Descrizione della rotazione in senso antiorario attorno ad un asse diretto in uno spazio vettoriale euclideo orientato. Definizione di spazio euclideo, struttura di spazio metrico su uno spazio euclideo, isometrie tra spazi euclidei. Un'applicazione affine tra spazi euclidei che sia anche un'isometria ha parte lineare che è un'isometria lineare. Una funzione tra spazi euclidei è un'isometria se e solo se è una trasformazione affine di parte lineare un'isometria lineare (manca la dimostrazione di un lemma tecnico).
03/04/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dalla prima parte del Foglio 3.
07/04/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Dimostrazione del lemma tecnico enunciato nella lezione precedente. Sistemi di riferimento euclidei. Esempi di isometrie: le coordinate affini associate a un sistema di riferimento euclideo danno un'isometria tra uno spazio euclideo e lo spazio euclideo numerico, rotazioni attorno a un punto, traslazioni, riflessioni rispetto a un sottospazio affine. Trasformazioni che preservano ed invertono l'orientazione. Una isometria di un piano euclideo che preserva l'orientazione è necessariamente dei seguenti tre tipi: l'identità se fissa almeno due punti, una rotazione non banale se fissa uno e un sol punto, una traslazione non banale se non fissa nessun punto. Enunciato della classificazione dei movimenti rigidi del piano. Distanza tra due sottospazi affini di uno spazio euclideo.
09/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Fine della dimostrazione che la distanza tra due sottospazi affini viene sempre realizzata come distanza tra punti dei due sottospazi. Dimostrazione della classificazione dei movimenti rigidi del piano euclideo. Esempio: composizione di due riflessioni. Definizione di endomorfismo autoaggiunto in uno spazio vettoriale euclideo. Esempi: operatore nullo, identità, proiezioni ortogonali, combinazioni lineari di operatori autoaggiunti. Enunciato del Teorema Spettrale reale, e dimostrazione della direzione "facile": se un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo è diagonalizzabile tramite una base ortonormale allora è autoaggiunto.
10/04/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 11:00 (esercitazioni)
Alcuni esercizi scelti dalla seconda parte del Foglio 3.
14/04/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Altri esempi di endomorfismi autoaggiunti. Un endomorfismo è autoaggiunto se e solo se la sua matrice in una base ortonormale è simmetrica. Decomposizione spettrale per un endomorfismo autoaggiunto come combinazione lineare di proiezioni ortogonali che commutano a due a due. Teorema Spettrale reale in forma matriciale e sua equivalenza col Teorema Spettrale reale in forma operatoriale. Definizione di operatore aggiunto di un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo, operatori autoaggiunti in termini dell'operatore aggiunto. Definizione di prodotto hermitiano in uno spazio vettoriale complesso, spazi vettoriali hermitiani. Primi esempi.
16/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00 (esercitazioni)
Ancora su un esempio di prodotto hermitiano su C^n, del tipo vettore trasposto per matrice hermitiana per vettore coniugato. Esercizi 2, 3, 5, 7 dal Foglio 4.
23/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Proprietà degli spazi vettoriali hermitiani analoghe a quelle degli spazi vettoriali euclidei: lunghezze, ortogonalità, Cauchy-Schwarz, proiezioni ortogonali, Gram-Schmidt, basi ortogonali e unitarie. Isometrie lineari hermitiane e operatori autoaggiunti, loro teoria spettrale: caratterizzazione in termini della matrice associata in una base unitaria, descrizione dello spettro, ereditarietà della proprietà per restrizione a un sottospazio stabile, stabilizzazione dell'ortogonale a un sottospazio stabile. Enunciato del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti e isometrie lineari hermitiane. Inizio della dimostrazione del teorema spettrale reale come conseguenza di quello complesso.
24/04/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 5.
28/04/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Fine della dimostrazione del teorema spettrale reale come conseguenza di quello complesso. Dimostrazione del teorema spettrale complesso per operatori autoaggiunti e isometrie lineari, sua formulazione matriciale, e decomposizione spettrale. Conseguenza notevole del teorema spettrale per isometrie lineari hermitiane: forma canonica delle isometrie lineari reali (dimostrazione da terminarsi).
30/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Fine della dimostrazione di come si ottiene la forma canonica delle isometrie lineari reali. Forme bilineari e forme quadratiche, definizione, primi esempi, corrispondenza tra forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Forme quadratiche ottenute da polinomi omogenei di secondo grado.
05/05/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Ricapitolazione su quanto detto la volta precedente su forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Esempi. Dare un forma quadratica è equivalente a dare una base e una funzione polinomiale omogenea di secondo grado. Nozioni per forme bilineari simmetriche/forme quadratiche: ortogonalità, radicale, basi ortogonali, proprietà di essere non degenere, matrice di Gram associata in una data base, vettori isotropi. Relazione di equivalenza di congruenza, matrici di Gram in differenti basi della stessa forma bilineare simmetrica sono congruenti. Discussione intorno al "determinante" di una forma bilineare simmetrica. Esistenza di una base ortogonale in caratteristica diversa da 2. Interpretazione della matrice di Gram in termini del morfismo naturale associato ad una forma bilineare simmetrica da uno spazio vettoriale al suo duale (dimostrazione rimandata); il radicale di una forma bilineare simmetrica è il nucleo di tale morfismo. Rango di una forma bilineare simmetrica/forma quadratica. Il rango di una forma bilineare simmetrica/forma quadratica è il numero di elementi non nulli sulla diagonale della matrice di Gram in una base ortogonale. Una base ortogonale di una forma bilineare simmetrica non degenere è interamente costituita da vettori non isotropi.
07/05/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 12:00 (esercitazioni) 12:00 - 13:00
Esercizi scelti dal Foglio 5. Fine della dimostrazione rimandata dalla lezione precedente. L'ortogonale rispetto ad una forma bilineare simmetrica di un sottospazio la restrizione al quale della forma è non degenere dà una decomposizione in somma diretta ortogonale dello spazio. Nozione di equivalenza per forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Due forme bilineari simmetriche sono equivalenti se e solo se lo sono le loro forme quadratiche associate, e due forme quadratiche sono equivalenti se e solo se lo sono le loro forme bilineari simmetriche associate.
08/05/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 6.
12/05/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Due forme bilineari simmetriche sono equivalenti se e solo se le loro matrici di Gram in una data base sono congruenti. Il rango è un invariante completo per l'equivalenza di forme bilineari simmetriche su un campo algebricamente chiuso di caratteristica diversa da due. Segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Teorema di Sylvester: la segnatura è un invariante completo per l'equivalenza di forme bilineari simmetriche reali (dimostrazione da terminarsi).
14/05/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00 (esercitazioni)
Ancora esercizi scelti dal Foglio 6.
15/05/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00
Come utilizzare il Teorema Spettrale reale e il Criterio di Cartesio per stabilire la segnatura di una forma bilineare simmetrica reale. Recupero di una dimostrazione tralasciata: data una forma bilineare simmetrica non degenere la somma della dimensione di un sottospazio e del suo ortogonale è uguale alla dimesinone dello spazio ambiente, anche se non sono in somma diretta. Introduzione immaginfica al piano proiettivo reale come modello di geometria non euclidea. Definizione di spazio proiettivo associato ad uno spazio vettoriale, dimensione, sottospazi.
19/05/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Intersezione di sottospazi proiettivi, sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme, caso particolare del sottospazio proiettivo generato dall'unione di due sottospazi proiettivi. Formula di Grassmann proiettiva. Per due punti distinti passa una e una sola retta proiettiva, due sottospazi proiettivi le cui somma delle dimensioni eccede la dimensione dello spazio ambiente hanno intersezione non vuota, due rette proiettive piane hanno sempre intersezione non vuota. Coordinate omogenee standard sullo spazio proiettivo numerico su un campo. Coordinate omogenee su uno spazio proiettivo come classe di equivalenza di basi dello spazio vettoriale sovrastante. Esempio di equazioni cartesiane e parametriche per sottospazi proiettivi. Punti in posizione generale. Equivalenza tra coordinate omogenee e scelta di n+2 punti ordinati in posizione generale.
21/05/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Applicazione indotta sugli spazi proiettivi corrispondenti da un'applicazione lineare, dominio di tale applicazione in termini del nucleo dell'applicazione lineare. Applicazioni lineari multiple l'una dell'altra per uno scalare non nullo inducono la stessa applicazione proiettiva. Dominio di definizione massimale. Definizione di applicazione proiettiva degenere e non degenere. Al momento senza dimostrazione: applicazioni lineari che inducono la stessa applicazione proiettiva sono multiple l'una dell'altra per uno scalare non nullo. Esempi: l'identità è un'applicazione proiettiva, caso patologico dell'applicazione costante, proiezione su un sottospazio proiettivo di centro un sottospazio tali che i sottospazi vettoriali sovragiacenti decompongono lo spazio vettoriale in somma diretta, interpretazione geometrica. Accenno alle prospettività.
22/05/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 7.
26/05/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Dimostrazione del fatto che applicazioni lineari che inducono la stessa applicazione proiettiva (eventualmente degenere) sono multiple l'una dell'altra per uno scalare non nullo. Corrispondenza 1:1 tra riferimenti proiettivi e isomorfismi con lo spazio proiettivo numerico. Teorema Fondamentale delle Proiettività. Conseguenza: una proiettività che fissa n+2 punti in posizione generale è l'identità. Ancora sulle prospettività, situazione generale, caratterizzazione degli isomorfismi proiettivi tra due rette proiettive piane distinte che sono prospettività.
28/05/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Struttura di spazio affine sul complementare di un iperpiano proiettivo. Il gioco del Dobble.
29/05/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 7.
04/06/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Coordinate affini sugli aperti affini di uno spazio proiettivo, e relazione con le coordinate omogenee. Corrispondenza biunivoca tra sottospazi affini di un aperto affine e sottospazi proiettivi non contenuti nell'iperpiano proiettivo rimosso. Descrizione della corrispondenza in coordinate, omogenizzazione di equazioni affini e deomogenizzazione di equazioni omogenee, interpretazione dei punti sull'iperpiano proiettivo rimosso come punti impropri "all'infinito" dell'aperto affine. Accenno alla corrispondenza tra proiettività che fissano l'iperpiano proiettivo rimosso e affinità dell'aperto affine corrispondente.
05/06/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 7 in preparazione del secondo esonero.
09/06/2025 Aula F. Enriques 09:00 - 11:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 7.
11/06/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Gran finale fuori programma d'esame: classificazione affine e proiettiva delle coniche piane su un campo algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2 e sui numeri reali.