La prova scritta d'esame è in presenza. Le iscrizioni agli appelli chiudono inderogabilmente dieci giorni prima della data d'esame.
Gli iscritti ai vari appelli riceveranno a tempo debito una email sull'indirizzo di posta istituzionale con le informazioni per la convocazione (aula, orari, ecc...).
Durante la prova scritta è indispensabile essere muniti di un documento di identità (con fotografia) in corso di validità, che sarà controllato durante la prova.
Si può portare con sé (anche agli esoneri): la/le penna/e, eventualmente acqua e snack, e un foglio bianco formato A4 con scritto sopra (a mano o stampato) fronte-retro qualunque cosa riteniate opportuno vi possa aiutare (formule, esempi, enunciati, ecc...). Non è ammesso portare con sé altro. Stesse regole valgono per gli esoneri.
Chi ottiene alla prova scritta un voto superiore o uguale a 18 dovrà obbligatoriamente svolgere la prova orale.
Chi riporta alla prova scritta una votazione inferiore a 18 non potrà accedere alla prova orale e dovrà quindi ripresentarsi ad un appello successivo.
Sono previsti due esoneri, uno a metà semestre ed uno a fine corso. Per essere esonerati dalla prova scritta (unicamente per la sessione estiva) è necessario aver ottenuto la sufficienza in entrambi gli esoneri, nel qual caso si accede all'esame orale con una votazione pari alla media aritmetica dei voti dei due esoneri.
In bocca al lupo a tutti!
Note del docente manoscritte, qui sotto.
Note del docente dattiloscritte, prossimamente su questi schermi.
E. Sernesi, "Geometria 1", seconda edizione riveduta e ampliata. Bollati Boringhieri.
M. Artin, "Algebra". Bollati Boringhieri.
E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, "Geometria proiettiva. Problemi risolti e richiami di teoria". Unitext Springer.
Primo esonero, 10/04/2025 ore 14:30 in Aula T. Levi-Civita. Cliccando qui troverete la parte a risposta multipla (in questa versione la risposta corretta è sempre la prima); cliccando qui troverete gli esercizi a risposta "aperta" con una proposta di soluzioni.
Cliccando qui troverete la lista definitiva degli ammessi al secondo esonero, con relativo voto, integrata con la correzione di coloro i quali hanno ottenuto 2,75 al test a risposta multipla.
Appello straordinario del 28/04/2025. Cliccando qui troverete il testo d'esame e una possibile soluzione degli esercizi.
Cliccando qui troverete le note (manoscritte) del corso.
Prossimamente, sperabilmente, le note digitate in LaTeX.
26/02/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Informazioni pratiche sul corso, ricevimento, modalità d'esame. Breve panoramica del corso. Esempio di (sotto)spazio affine: le soluzioni di un sistema lineare (non omogeneo) compatibile. Definizione astratta di spazio affine e primissime conseguenze.
27/02/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00
Esempi di spazi affini. Sistemi di riferimento affini.
03/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Ancora sui sistemi di riferimento affini, riferimento affine canonico in uno spazio affine numerico. Sottospazi affini, giacitura, dimensione, esempi. Esempio: come utilizzare un sistema di riferimento affine per descrivere un sottospazio in forma parametrica o cartesiana. Intersezione di sottospazi affini, sottospazio affine generato da un sottoinsieme. Il caso particolare di un numero finito di punti: dipendenza e indipendenza affine.
05/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Come calcolare lo spazio affine generato da un numero finito di punti. Esempi. Struttura di spazio affine su un sottospazio affine. Come calcolare il sottospazio affine generato dall'unione di due sottospazi affini, caso particolare in cui essi siano incidenti. Formula di Grassmann affine. Se la somma delle giaciture di due sottospazi affini coincide con l'intero spazio vettoriale su cui lo spazio affine in cui vivono è modellato, allora essi hanno intersezione non vuota, e l'intersezione è un singoletto se e solo se le due giaciture hanno inoltre intersezione nulla. La geometria affine soddisfa il postulato delle parallele.
06/03/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Primi esercizi dal Foglio 1.
10/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Cambio di coordinate affini, esempio. Teorema di Talete. Definizione di applicazione affine, unicità della parte lineare. Esempi: applicazioni costanti, identità, le traslazioni sono tutte e sole le applicazioni affini di parte lineare l'identità, omotetie.
12/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Altri esempi di applicazioni affini: coordinate affini, applicazione lineare seguita da una traslazione, caso particolare di spazi affini numerici, proiezione su un sottospazio affine parallelamente a un sottospazio vettoriale in somma diretta con la giacitura del sottospazio affine. Equivalenza tra dare un sistema di riferimento affine e dare n+1 punti ordinati e affinemente indipendenti in uno spazio affine di dimensione n. Le applicazioni affini sono determinante dalla loro parte lineare e dall'immagine di un punto.
17/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Esercizio sulle proiezioni affini. Iniettività e suriettività di una applicazione affine in termini della sua parte lineare, l'inversa di una applicazione affine invertibile è un'applicazione affine, composizione di applicazioni affini è affine, comportamento della parte lineare rispetto alla composizione, il gruppo delle affinità di uno spazio affine. Figure affinemente equivalenti, proprietà affini di una figura, tutti i triangoli sono affinemente equivalenti. Scrittura di un'applicazione affine in coordinate scelto un sistema di riferimento affine in partenza e uno in arrivo.
19/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Il prodotto scalare tra vettori geometrici del piano come intriduzione all'assiomatica di protoddo scalare. Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei. Esempi: prodotto nullo sullo spazio vettoriale banale, prodotto scalare canonico su R^n, prodotto scalare su R^n indotto da una matrice simmetrica non singolare del tipo A^t•A, esempio esplicito di prodotto scalare su uno spazio di polinomi, prodotto scalare L^2. Norma associata a un prodotto scalare, distanza associata a un prodotto scalare, ogni spazio vettoriale euclideo è uno spazio metrico, Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, nozione di angolo in uno spazio vettoriale euclideo, diseguaglianza triangolare.
20/03/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Altri esercizi dal Foglio 1.
24/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Dimostrazione della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz, perpendicolarità tra sottoinsiemi, il perpendicolare a un sottoinsieme, un insieme finito di vettori non nulli a due a due ortogonali è linearmente indipendente, isomorfismo con lo spazio duale indotto da un prodotto scalare, perpendicolare e annullatore. L'ortogonale di un sottospazio ne è complemento diretto, proiezione ortogonale, basi ortogonali e ortonormali, scrittura esplicita di una proiezione ortogonale su un sottospazio dotato di una base ortogonale, caso particolare: coordinate di un vettore in una base ortogonale, coefficienti di Fourier. La proiezione ortogonale su un sottospazio realizza la distanza da quel sottospazio. Esempio: serie di Fourier troncata come proiezione ortogonale.
26/03/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, esempio. Basi ortonormali, espressione di un prodotto scalare in coordinate associate a una base ortonormale, come recuperare gli elementi della matrice di un endomorfismo utilizzando basi ortonormali. Definizione di isometrie lineari, loro iniettività, comportamento rispetto all'inversione e alla composizione, il gruppo ortogonale di uno spazio vettoriale euclideo. Matrice associata ad un'isometria lineare in una base ortonormale, il gruppo delle matrici ortogonali. Determinante di un isometria lineare da uno spazio in sé, gruppo ortogonale speciale. L'identità è sempre un'isometria, l'applicazione coordinate in una base ortonormale dà un'isometria lineare dallo spazio vettoriale ad R^n dotato del prodotto scalare canonico. Come sono fatte le matrici in O(2,R).
27/03/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 2.
31/03/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Richiami sulla definizione e prime proprietà delle isometrie lineari. La matrice del cambio di coordinate tra due basi ortonormali è una matrice ortogonale. Riflessioni ortogonali rispetto a un sottospazio. Descrizione completa delle matrici in O(2,R) come rotazioni o riflessioni rispetto ad una retta, o come prodotto di due riflessioni rispetto ad una retta. Isometrie lineari di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 2. Descrizione completa delle matrici in SO(3,R). Ogni isometria lineare di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3 che ha determinante 1 è una rotazione.
02/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Orientazione di uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Descrizione della rotazione in senso antiorario attorno ad un asse diretto in uno spazio vettoriale euclideo orientato. Definizione di spazio euclideo, struttura di spazio metrico su uno spazio euclideo, isometrie tra spazi euclidei. Un'applicazione affine tra spazi euclidei che sia anche un'isometria ha parte lineare che è un'isometria lineare. Una funzione tra spazi euclidei è un'isometria se e solo se è una trasformazione affine di parte lineare un'isometria lineare (manca la dimostrazione di un lemma tecnico).
03/04/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dalla prima parte del Foglio 3.
07/04/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Dimostrazione del lemma tecnico enunciato nella lezione precedente. Sistemi di riferimento euclidei. Esempi di isometrie: le coordinate affini associate a un sistema di riferimento euclideo danno un'isometria tra uno spazio euclideo e lo spazio euclideo numerico, rotazioni attorno a un punto, traslazioni, riflessioni rispetto a un sottospazio affine. Trasformazioni che preservano ed invertono l'orientazione. Una isometria di un piano euclideo che preserva l'orientazione è necessariamente dei seguenti tre tipi: l'identità se fissa almeno due punti, una rotazione non banale se fissa uno e un sol punto, una traslazione non banale se non fissa nessun punto. Enunciato della classificazione dei movimenti rigidi del piano. Distanza tra due sottospazi affini di uno spazio euclideo.
09/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Fine della dimostrazione che la distanza tra due sottospazi affini viene sempre realizzata come distanza tra punti dei due sottospazi. Dimostrazione della classificazione dei movimenti rigidi del piano euclideo. Esempio: composizione di due riflessioni. Definizione di endomorfismo autoaggiunto in uno spazio vettoriale euclideo. Esempi: operatore nullo, identità, proiezioni ortogonali, combinazioni lineari di operatori autoaggiunti. Enunciato del Teorema Spettrale reale, e dimostrazione della direzione "facile": se un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo è diagonalizzabile tramite una base ortonormale allora è autoaggiunto.
10/04/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 11:00 (esercitazioni)
Alcuni esercizi scelti dalla seconda parte del Foglio 3.
14/04/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Altri esempi di endomorfismi autoaggiunti. Un endomorfismo è autoaggiunto se e solo se la sua matrice in una base ortonormale è simmetrica. Decomposizione spettrale per un endomorfismo autoaggiunto come combinazione lineare di proiezioni ortogonali che commutano a due a due. Teorema Spettrale reale in forma matriciale e sua equivalenza col Teorema Spettrale reale in forma operatoriale. Definizione di operatore aggiunto di un endomorfismo di uno spazio vettoriale euclideo, operatori autoaggiunti in termini dell'operatore aggiunto. Definizione di prodotto hermitiano in uno spazio vettoriale complesso, spazi vettoriali hermitiani. Primi esempi.
16/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00 (esercitazioni)
Ancora su un esempio di prodotto hermitiano su C^n, del tipo vettore trasposto per matrice hermitiana per vettore coniugato. Esercizi 2, 3, 5, 7 dal Foglio 4.
23/04/2025 Aula F. Enriques 11:00 - 13:00
Proprietà degli spazi vettoriali hermitiani analoghe a quelle degli spazi vettoriali euclidei: lunghezze, ortogonalità, Cauchy-Schwarz, proiezioni ortogonali, Gram-Schmidt, basi ortogonali e unitarie. Isometrie lineari hermitiane e operatori autoaggiunti, loro teoria spettrale: caratterizzazione in termini della matrice associata in una base unitaria, descrizione dello spettro, ereditarietà della proprietà per restrizione a un sottospazio stabile, stabilizzazione dell'ortogonale a un sottospazio stabile. Enunciato del Teorema Spettrale per operatori autoaggiunti e isometrie lineari hermitiane. Inizio della dimostrazione del teorema spettrale reale come conseguenza di quello complesso.
24/04/2025 Aula F. Enriques 10:00 - 12:00 (esercitazioni)
Esercizi scelti dal Foglio 5.
28/04/2025 Aula F. Enriques 08:00 - 11:00
Fine della dimostrazione del teorema spettrale reale come conseguenza di quello complesso. Dimostrazione del teorema spettrale complesso per operatori autoaggiunti e isometrie lineari, sua formulazione matriciale, e decomposizione spettrale. Conseguenza notevole del teorema spettrale per isometrie lineari hermitiane: forma canonica delle isometrie lineari reali (dimostrazione da terminarsi).