Geometria riemanniana
A.A. 2016/2017
I semestre, 48 ore.
Corso ed esercitazioni (in rapporto 2:1)
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Testi consigliati:
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, "Riemannian Geometry"
D. Huybrechts, "Complex Geometry"
S. Kobayashi, K. Numizu, "Foundations of Differential Geometry"
J.-P. Demailly, "Complex Analytic and Differential Geometry"
M. Gorss, D. Huybrechts, D. Joyce, "Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries"
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Testo d'esame (con soluzioni) del 30/01/2017 (sessione invernale, I appello).
Testo d'esame (con soluzioni) del 16/02/2017 (sessione invernale, II appello).
Testo d'esame (con soluzioni) del 21/04/2017 (appello straordinario).
Testo d'esame (con soluzioni) del 03/07/2017 (sessione estiva, I appello).
Testo d'esame (senza soluzioni) del 19/07/2017 (sessione estiva, II appello).
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Diario di bordo
03/11/2016 (Corso)
Varietà differenziabili, partizioni dell’unità, metriche riemanniane (definizione ed esistenza), isometrie, lunghezza curve, esempi.
04/11/2016 (Corso)
Fibrati vettoriali, costruzioni funtoriali, forme volume, elemento di volume riemanniano, integrazione, orientabilità, sottovarietà riemanniane, esempio della sfera e dello spazio iperbolico.
09/11/2016 (Esercitazioni)
10/11/2016 (Corso)
Metriche prodotto, rivestimenti riemanniani, tori piatti, classificazione dei tori piatti bidimensionali a meno di isometrie e omotetie.
11/11/2016 (Corso)
Connessioni lineari sui fibrati vettoriali, matrice della connessione, trasformazione di ricalibratura, curvatura, derivata covariante, connessioni indotte, identità di Bianchi.
16/11/2016 (Esercitazioni)
17/11/2016 (Corso)
Pull-back di fibrati, trasporto parallelo, olonomia e olonomia ristretta di una connessione, sezioni parallele, metriche su un fibrato vettoriale, compatibilità di una connessione con la metrica, torsione di una connessione.
18/11/2016 (Corso)
Compatibilità con la metrica e trasporto parallelo, olonomia e gruppo ortogonale, enunciato di esistenza e unicità della connessione di Levi-Civita. Cenni di funzioni olomorfe in più variabili: definizione, formula di Cauchy, analiticità, continuazione analitica, principio del massimo, teorema del rango, teorema di Hartogs.
23/11/2016 (Esercitazioni)
24/11/2016 (Corso) Struttura quasi complessa su uno spazio vettoriale reale, complessificazione, complessificato del duale e duale del complessificato, decomposizione in tipi (1,0) e (0,1), bigradazione sull’algebra esterna, prodotti scalari J-invarianti e prodotti hermitiani, forma fondamentale di un prodotto scalare J-invariante.
25/11/2016 (Corso) Dimostrazione esistenza e unicità della connessione di Levi-Civita, simboli di Christoffel. Varietà complesse, strutture quasi complesse, integrabilità, spazio tangente complesso, complessificato, loro duali e decomposizione, calcolo differenziale complesso, coomologia di Dolbeault.
30/11/2016 (Esercitazioni)
01/12/2016 (Corso)
Connessioni di tipo (1,0) e (0,1), fibrati vettoriali olomorfi, connessione canonica di tipo (0,1) su un fibrato vettoriale olomorfo, coomologia di Dolbeault, connessione di Chern, varietà hermitiane, volume hermitiano.
02/12/2016 (Corso)
Metriche di Kähler, condizione necessaria in coomologia di de Rham per l’esistenza di metriche kähleriane, relazione tra la teoria di Levi-Civita e quella di Chern per varietà kähleriane, interpretazione olonomica delle varietà kähleriane.
07/12/2016 (Esercitazioni)
14/12/2016 (Esercitazioni)
15/12/2016 (Corso) Curvatura di Ricci, ulteriori simmetrie del tensore di curvatura di Riemann, prima identità di Bianchi, simmetria del tensore di Ricci, curvatura scalare, varietà di Einstein. Curvatura di Chern-Ricci, forma di Ricci, uguaglianza di queste ultime nel caso Kähler.
16/12/2016 (Corso)
Interpretazione olonomica della Ricci-piattezza: olonomia ristretta contenuta in SU(n), invarianza omotopica del trasporto parallelo per connessioni piatte, prima classe di Chern, lemma del ddbar, enunciato del teorema di Calabi-Yau, esistenza di metriche di Kähler con curvatura di Ricci prescritta, canonico olomorficamente banale implica olonomia in SU(n).
21/12/2016 (Esercitazioni)
11/01/2017 (Esercitazioni)
12/01/2017 (Corso) Algebra dei quaternioni, norma, coniugio, quaternioni unitari Sp(1), gruppo lineare quaternionico, forma hermitiana standard e gruppo simplettico compatto. Interpretazione omonimica del gruppo simplettico compatto, varietà hyperkähler, superfici K3.
13/01/2017 (Corso) Irriducibilità, completezza, sottovarietà totalmente geodetiche, enunciato e schema della dimostrazione del teorema di decomposizione di de Rham. Definizione di spazi localmente simmetrici, caratterizzazione riemanniana, enunciato del teorema di classificazione di Berger, superfici K3 (ripresa).