Geometria riemanniana 

A.A. 2018/2019

I semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile).

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Orario delle lezioni: martedì 14:00 - 16:00 e venerdì 13:30 - 15:30, in Aula F.

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Testi consigliati:

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Fogli di esercizi.

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Diario di bordo

27/09/2018 (Corso)

Introduzione generale al corso, aspetti pratici e organizzativi. Panoramica degli argomenti che verranno trattati.

28/09/2018 (Corso)

Definizione di varietà differenziabile, partizioni dell'unità, metrica riemanniana. Esistenza di metriche riemanniane. Pull-back di una metrica riemanniana, immersività, isometrie.

04/10/2018 (Corso)

Lunghezza di una curva su una varietà riemanniana, struttura di spazio metrico. Fibrati vettoriali reali e complessi, matrici di transizione, sezioni. Esempi: fibrato tangente, struttura di fibrato con le costruzioni tensoriali a partire da un fibrato dato, fibrato tautologico sullo spazio proiettivo.

05/10/2018 (Corso)

Fibrato O(-1) e O(-2) sulla retta proiettiva reale, esistenza e non esistenza di sezioni globali mai nulle, calcoli in coordinate. Forme volume e orientabilità, integrazione su varietà orientabili, forma volume riemanniana. 

09/10/2018 (Corso)

Sottovarietà chiuse di una varietà riemanniana e struttura riemanniana indotta, esempi (sfera, spazio iperbolico). Prodotto di varietà riemanniane, esempi. Rivestimenti riemanniani, e quozienti per un gruppo discreto di isometrie.

12/10/2018 (Corso)

Tori piatti, e loro isometrie. Classificazione dei tori piatti di dimensione due a meno di isometrie e omotetie. Connessioni lineari su un fibrato vettoriale reale o complesso, scrittura locale, matrice della connessione relativa a una banalizzazione, trasformazione di ricalibratura per le matrici della connessione.

16/10/2018 (Corso)

Curvatura di una connessione su un fibrato vettoriale, derivata covariante, relazione tra curvatura, derivata covariante e crochet di Lie. Connessioni indotte e loro curvatura su somma diretta, prodotto tensore, duale. Seconda identità di Bianchi.

19/10/2018 (Corso)

Fibrato pull-back, connessione indotta, sua curvatura e metriche pull-back. Trasporto parallelo, esistenziale e unicità, definizione del gruppo di olonomia di un fibrato vettoriale munito di una connessione, e di olonomia ristretta. Enunciato del principio di olonomia, olonomia speciale lineare implica orientabilità.

26/10/2018 (Corso)

Struttura di gruppo di Lie del gruppo di olonomia, sue componenti connesse, relazione col gruppo fondamentale. Algebra di Lie dell'olonomia, enunciato del Teorema di Olonomia di Ambrose-Singer. Connessione indotta sulle potenze esterne e in particolare sul fibrato determinante, esistenza delle connessioni. Relazione tra le rappresentazioni di olonomia indotte e l'olonomia delle connessioni indotte. Un fibrato vettoriale orientabile ammette una connessione ad olonomia speciale lineare.

08/11/218 (Corso)

Ripresa e coda della dimostrazione che un fibrato vettoriale orientabile ammette una connessione ad olonomia speciale lineare. Dimostrazione della direzione "facile" del Teorema di Olonomia di Ambrose-Singer, e idea del viceversa. Connessioni compatibili con una metrica su un fibrato vettoriale, antisimmetria delle matrici di connessione per una tale connessione.

09/11/2018 (Corso)

Un fibrato vettoriale è piatto se e solo se la sua olonomia ristretta è banale, se e solo se si banalizza su ogni aperto semplicemente connesso via una riferimento locale parallelo. Corrispondenza tra fibrati piatti e rappresentazioni del gruppo fondamentale. Una connessione è compatibile con la metrica se e solo se la sua olonomia è nel gruppo ortogonale. Torsione di una connessione sul fibrato tangente. 

13/11/2018 (Corso)

Esistenza e unicità della connessione di Levi-Civita. Differenti nozioni di curvatura in geometria riemanniana: curvatura sezionale, curvatura di Ricci, curvatura scalare. Accenni ai teoremi classici sulla curvatura di Ricci positiva: Teorema di Myers, diseguaglianza di Bishop-Gromov, Teorema di Spezzamento di Cheeger-Gromol. Cenni alle equazioni di campo di Einstein, e metriche di Einstein. Richiami sulla curvatura Gaussiana per superfici immerse in R^3.

16/11/2018 (Corso)

Ancora sulla definizione della connessione di Levi-Civita. Simmetrie del tensore di curvatura di Riemann, prima identità di Bianchi. Simmetria del tensore di Ricci. Propagazione dei segni delle curvature, tensore di Ricci come media di curvature sezionali.

20/11/2018 (Corso)

Calcoli di curvatura: connessione di Levi-Civita per la metrica indotta su una sottovarietà chiusa, la curvatura Gaussiana è uguale alla curvatura sezionale riemanniana, Theorema Egregium, connessione di Levi-Civita e curvatura per una superficie riemanniana in coordinate isoterme, impostazione del calcolo di curvatura per la sfera e la palla iperbolica.

23/11/2018 (Corso)

Ripasso su gruppi ed algebre di Lie, rappresentazione aggiunta, enunciato del Teorema di Cartan, esempi. Metriche invarianti a sinistra e a destra, metriche bi-invarianti e legame con la compattezza della rappresentazione aggiunta. G-spazi omogenei, sottogruppo di isotropia, esempi: la sfera, la varietà di Stiefel, grassmanniane, lo spazio iperbolico. Submersioni riemanniane, azione libera e propria di un sottogruppo di Lie del gruppo di Lie (Teorema di Myers-Steenrod) delle isometrie di una varietà riemanniana.

27/11/2018 (Corso)

Ripresa sugli spazi omogenei, submersioni riemanniane, e spazi riemanniani omogenei, compattezza dell'isotropia per varietà riemanniane. Rappresentazione lineare di isotropia, esistenza di metriche invarianti su spazi omogenei in termini della compattezza della rappresentazione lineare di isotropia.

30/11/2018 (Corso)

Ripresa della dimostrazione dell'esistenza di metriche invarianti su spazi omogenei in termini della compattezza della rappresentazione lineare di isotropia. Geodetiche, esistenza e unicità e dipendenza liscia dalle condizioni iniziali. Geodetiche e isometrie locali, geodetiche e rivestimenti riemanniani. Applicazione esponenziale, e sua invertibilità locale vicino alla sezione nulla.

07/12/2018 (Corso)

L'applicazione esponenziale è un diffeomorfismo locale. Coordinate normali, conseguenze: la matrice della connessione di Levi-Civita si annulla nel centro di un aperto coordinato normale, due isometrie locali che hanno lo stesso 1-getto in un punto coincidono. Completezza geodetica, e sue caratterizzazioni: il Teorema di Hopf-Rinow. Un varietà riemanniana è completa se e solo se lo è un suo rivestimento riemanniano.

11/12/2018 (Corso)

Spazi riemanniani simmetrici, loro completezza e omogeneità riemanniana. Spazi localmente simmetrici e loro caratterizzazioni. Involuzione sul gruppo di isometrie di uno spazio riemanniano simmetrico, decomposizione in autospazi ortogonali della sua di Lie. Connessione e curvatura (Teorema di O'Neill) per una submersione riemanniana.

14/12/2018 (Corso/Esercitazioni)

Connessione di Levi-Civita e curvatura di Riemann per uno spazio omogeneo, specializzazione al caso simmetrico. Il gruppo di olonomia di uno spazio simmetrico G/K è contenuta in K. Esercizio: classificazione dei gruppi di isometrie di tori piatti di dimensione due.

18/12/2018 (Esercitazioni)

Esercizi vari tratti dai fogli di esercizi.

08/01/2019 (Corso)

Distribuzioni, varietà integrali, involutività, integrabilità, completa integrabilità. Teoremi di Frobenius locale e globale, foliazioni, esempi. Varietà riemanniane (ir)riducibili. Sottovarietà totalmente geodetiche e seconda forma fondamentale. Inizio dello schema della dimostrazione del Teorema di decomposizione di de Rham: costruzione della foliazione a foglie complete e totalmente geodetiche a partire dalla riducibilità del gruppo di olonomia. Spezzamento isometrico locale. Spezzamento del gruppo di olonomia nel caso semplicemente connesso. Decomposizione di de Rham dello spazio tangente.

11/01/2019 (Corso)

Riepilogo della lezione precedente, enunciato del Teorema di de Rham. Dimostrazione di una versione locale, e unicità della decomposizione di de Rham per le varietà semplicemente connesse.

15/01/2019 (Corso/Esercitazioni)

Dimostrazione dell'unicità della decomposizione di de Rham per le varietà semplicemente connesse. Esempi di applicazione del Teorema di Decomposizione di de Rham in dimensione due e tre. Esercizi.

18/01/2019 (Esercitazioni)

Esercizi vari in preparazione dello scritto.