Geometria riemanniana
A.A. 2020/2021
II semestre, 48 ore.
Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile)
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Testi consigliati:
M. do Carmo, "Riemannian Geometry"
S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, "Riemannian Geometry"
J. McCleary "Geometry from a Differentiable Viewpoint"
J. M. Lee, "Introduction to smooth manifolds"
S. Kobayashi, K. Numizu, "Foundations of Differential Geometry"
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Lezioni al tempo del COVID
In linea di principio il corso si svolgerà in modalità "blended", una sapiente e antica miscela di didattica frontale in presenza e telematica.
La trasmissione telematica delle lezioni avverrà tramite la piattaforma Zoom.
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Fogli di esercizi
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Diario di bordo
25/02/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Benvenuto e spiegazione sulla modalità del corso e degli esami.
Introduzione, curvatura delle curve regolari in R^2 e R^3, curvatura delle superfici in R^3 (come determinante del differenziale dell'applicazione di Gauss). Interpretazione geometrica (inizio).
02/03/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Interpretazione geometrica della curvatura di Gauss, con sviluppo in serie in opportune coordinate e come prodotto delle curvature principali. Nozione astratta di metrica riemanniana su una superficie, e di curvatura di Gauss. Panoramica sulla generalizzazione in dimensione superiore, nozioni di curvatura, geodetiche, applicazione esponenziale, legami tra curvatura e topologia, completezza, completezza geodetica.
04/03/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Ripasso di geometria differenziale: varietà topologiche, varietà differenziabili, applicazioni lisce tra varietà, spazio e fibrato tangente, campi vettoriali, differenziale di un'applicazione tra varietà, immersioni, submersioni, immersioni regolari, esempi e controesempi, partizioni dell'unità e alcune loro conseguenze.
09/03/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Ripasso di geometria differenziale: orientabilità, forme differenziali di grado massimo (descrizione locale e descrizione come sezione di un fibrato), orientabilità e forme volume, integrazione su una varietà orientata. Nozione di metrica riemanniana, matrice della metrica in coordinate locali.
11/03/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Tensori (covarianti) su una varietà, differenziale di una funzione come 1-tensore, metriche riemanniane come 2-tensori simmetrici, campi vettoriali come 1-tensori su una varietà riemanniana, gradiente di una funzione su una varietà riemanniana. Esistenza locale e globale di metriche riemanniane, isometrie, isometrie locali. Metrica riemanniana indotta da una immersione.
16/03/2021 (Corso) Telematico, 11:15 - 13:00
Campo vettoriale lungo una curva, campo velocità, lunghezza di una curva. Forma di volume riemanniana su una varietà riemanniana orientata. Esempi: spazio euclideo, sfera con metrica riemanniana canonica indotta dalla metrica euclidea, modello dello spazio iperbolico come iperboloide ellittico con metrica riemanniana iperbolica indotta dalla forma di Lorenz. Matrici delle metriche negli esempi precedenti in vari sistemi di coordinate, forma volume sulla 2-sfera, volume della 2-sfera.
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18/03/2021 (Corso) Telematico, 09:15 - 11:00
Ancora sul modello dello spazio iperbolico come iperboloide ellittico con metrica riemanniana iperbolica indotta dalla forma di Lorenz, metrica riemanniana sul prodotto di due varietà riemanniane, tori piatti. Gruppi di Lie, campi vettoriali invarianti a sinistra, algebra di Lie di un gruppo di Lie, metriche riemanniane invarianti a sinistra. Il gruppo delle isometrie di una varietà riemanniana è un gruppo di Lie. Connessioni lineari sullo spazio tangente, esempio del differenziale in R^n, derivata covariante di un campo vettoriale lungo una curva.
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23/03/2021 (Corso) Telematico, 11:15 - 13:00
Espressione in coordinate locali di una connessione lineare, simboli di Christoffel. Dimostrazione esistenza e unicità della derivata covariante di un campo lungo una curva su una varietà con connessione lineare. Esempi in R^n. Campi vettoriali paralleli lungo una curva, loro esistenza e unicità con condizione iniziale. Il trasporto parallelo lungo una curva dà isomorfismo lineare tra spazi tangenti agli estremi della curva.
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25/03/2021 (Corso) Telematico, 09:15 - 11:00
Connessioni lineari compatibili con la metrica, caratterizzazioni. Lo spazio delle connessioni lineari è affine sullo spazio vettoriale dei 2-tensori a valori campi vettoriali. Esistenza di connessioni. Lo spazio delle connessioni lineari compatibili con la metrica è affine sullo spazio vettoriale dei 2-tensori a valori campi vettoriali i cui operatori lineari associati sono antisimmetrici. Connessioni prive di torsione, simmetria dei loro simboli di Christoffel. Teorema di Levi-Civita sull'esistenza e unicità della connessione riemanniana.
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30/03/2021 (Corso) Telematico, 11:15 - 12:00
Immersioni riemanniane, esempi, relazione tra le connessione di Levi-Civita di due varietà riemanniane una immersa nell'altra in modo riemanniano tramite estensione locale e proiezione ortogonale. L'esempio della sfera unitaria in R^{n+1}, in particolare curve che hanno velocità parallela sono porzioni di cerchi massimi parametrizzati proporzionalmente alla lunghezza d'arco. Geodetiche, definizione, descrizione in coordinate locali tramite un sistema di equazioni differenziali ordinare del secondo ordine.
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08/04/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Equazione delle geodetiche sul fibrato tangente, richiami su flussi locali, campo e flusso geodetico sul fibrato tangente. Esistenza locale e unicità delle geodetiche dati punto e velocità iniziali, omogeneità. Applicazione esponenziale, definizione, sua restrizione a uno spazio tangente. L'esponenziale ristretta a uno spazio tangente è un diffeomorfismo locale intorno al vettore nullo.
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13/04/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Coordinate geodetiche, tangenza all'ordine due all'identità della metrica in coordinate geodetiche. Esempi espliciti di calcolo dell'applicazione esponenziale: spazio euclideo, sfera, disco di Poincaré. Digressione su completezza e geodetiche. Curve C^1 a tratti, loro lunghezza, distanza riemanniana. Superfici parametrizzate, nozione di derivata covariante parziale lungo una superficie parametrizzata, simmetria. Enunciato del Lemma di Gauss.
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15/04/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:15
Dimostrazione e significato del Lemma di Gauss. Ogni punto ha un intorno tale che le geodetiche radiali minimizzano la distanza in quell'intorno. Le palle metriche di raggio r per la distanza indotta dalla metrica riemanniana coincidono con le palle geodetiche di raggio r, se r è sufficientemente piccolo.
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20/04/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
La funzione distanza riemanniana è una distanza, ed induce la stessa topologia della varietà; in particolare è continua. Definizione ed esistenza di intorni totalmente normali. Se una curva parametrizzata per un multiplo della lunghezza d'arco realizza la distanza tra due punti è una geodetica. Enunciato del Teorema di Hopf-Rinow, e alcune conseguenze: una varietà compatta è completa, una sottovarietà chiusa di una varietà completa è completa.
Accenno alle sottovarietà totalmente geodetiche, curvatura sezionale, enunciato del Teorema di Hadamard, e alcune sue conseguenze.
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22/04/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Alcune integrazioni e correzioni sulla lezione precedente, dimostrazione del Teorema di Hopf-Rinow. Inizio della correzione del foglio di esercizi n° 6.
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27/04/2021 (Esercitazioni) Aula C, 11:15 - 13:00
Svolgimento esercizi del Foglio 6.
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29/04/2021 (Esercitazioni) Aula C, 09:15 - 11:00
Svolgimento Esercizio 8 del Foglio 5.
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04/05/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Curvatura di Riemann, sua natura tensoriale, prima identità di Bianchi, simmetrie, espressione in coordinate, curvatura sezionale riemanniana, la curvatura sezionale determina il tensore di curvatura.
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06/05/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Caratterizzazione del tensore di curvatura per varietà a curvatura sezionale costante. Esempi: curvatura di un gruppo di Lie con metrica bi-invariante, connessione di Levi-Civita per una metrica conforme a una data, coordinate isoterme, la curvatura gaussiana di una superficie è la curvatura sezionale. Tensore di curvatura di Ricci, e scrittura in coordinate, varietà di Einstein. Digressioni varie su spazi a curvatura sezionale costante, divergenza e laplaciano riemanniano, natura ellittica dell'equazione di Einstein, equazione di campo di Einstein, natura parabolica del flusso di Ricci.
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11/05/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Traccia di una forma bilineare simmetrica rispetto a una forma bilineare simmetrica non degenere. Curvatura scalare, espressione in coordinate, il caso di curvatura sezionale costante, il caso delle superfici. Esempi di teoremi che coinvolgono la curvatura: varietà complete a curvatura sezionale costante, Teorema di Bonnet-Myers, suoi corollari, Problema di Yamabe, problema della costruzione di metriche con curvatura scalare assegnata, equazioni di campo di Einstein nel vuoto e varietà di Einstein.
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13/05/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
Famiglie a un parametro di geodetiche, loro variazione infinitesimale, equazione di Jacobi, campi di Jacobi. Esistenza e unicità, esempi: relazione con l'applicazione esponenziale, campi di Jacobi nello spazio euclideo, campi di Jacobi sulla sfera e calcolo della curvatura della sfera tramite i campi di Jacobi.
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18/05/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Descrizione dei campi di Jacobi nulli in partenza, campi di Jacobi normali. Campi di Jacopi su varietà a curvatura sezionale costante. Sviluppo in serie della matrice della metrica in coordinate geodetiche, sviluppo in serie della lunghezza di un campo di Jacobi normale e sua relazione con la curvatura sezionale.
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20/05/2021 (Corso) Aula C, 09:15 - 11:00
In curvatura non positiva l'esponenziale è un diffeomorfismo locale, un diffeomorfismo locale suriettivo ed espansivo da una varietà completa è un rivestimento, Teorema di Hadamard, alcuni suoi corollari. Inizio dell'enunciato del Teorema di Cartan su come la curvatura determini la metrica.
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25/05/2021 (Corso) Aula C, 11:15 - 13:00
Gran finale. Teorema di Cartan, le isometrie locali sono determinate dal loro 1-getto in un punto, una varietà completa e semplicemente connessa a curvatura sezionale costante è isometrica o alla sfera, o allo spazio euclideo, o allo spazio iperbolico.
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27/05/2021 (Esercitazioni) Aula C, 09:15 - 11:00
Esercizi vari dal Foglio 8.
08/06/2021 (Esercitazioni) Aula C, 11:15 - 13:00
Esercizi vari dal Foglio 8 e dal Foglio 7.
10/06/2021 (Esercitazioni) Aula C, 09:15 - 11:00
Esercizi vari.