Geometria superiore

A.A. 2021/2022

II semestre, 48 ore.

Corso ed esercitazioni (in rapporto variabile), per matematici.

Testi consigliati

• J.-P. Demailly "Complex analytic and differential geometry"

• D. Huybrechts "Complex geometry. An introduction"

• F. Zheng "Complex differential geometry"

• C. Voisin "Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I"

• P. Griffiths, J. Harris "Principles of algebraic geometry"

Lezioni al tempo del COVID

In linea di principio il corso si svolgerà in modalità "blended", una sapiente e antica miscela di didattica frontale in presenza e telematica.

La trasmissione telematica delle lezioni avverrà tramite la piattaforma Zoom.

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Appelli d'esame

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 18/02/2022, e cliccando qui una possibile soluzione.

• Cliccando qui troverete il testo della prova scritta del 01/02/2022, e cliccando qui una possibile soluzione.

Fogli di esercizi

• Foglio di esercizi n° 1.

• Foglio di esercizi n° 2.

• Foglio di esercizi n° 3.

• Foglio di esercizi n° 4.

• Foglio di esercizi n° 5.

• Foglio di esercizi n° 6.

• Foglio di esercizi n° 7.

Funzioni olomorfe di più variabili complesse

Per avere i primi rudimenti, potete guardare una o più delle seguenti fonti:

• il libro di D. Huybrechts "Complex geometry. An introduction", Capitolo 1, Sezione 1.1, fino alla Proposizione 1.1.13 inclusa;

• il libro P. Griffiths, J. Harris "Principles of algebraic geometry", Capitolo 0, Sezione 1, da pagina 6 a pagina 9 fino alla fine de Teorema di Estensione di Riemann;

• il libro di C. Voisin "Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I", Capitolo 1, Sezione 1.2.

• le prime 4 pagine delle note del sottoscritto (in francese) che trovate cliccando qui.

Diario di bordo

23/09/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Prodotti tensoriali di spazi vettoriali. Definizione, proprietà universale, isomorfismi canonici, prodotto tensoriale di morfismi, estensione del campo. Il caso di dimensione finita: basi, applicazioni lineari come tensori, traccia, algebra tensoriale. Tensori simmetrici e tensori antisimmetrici, prodotto simmetrico e prodotto wedge, esempi.

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28/09/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Fibrati vettoriali reali o complessi, definizione, banalizzazioni, funzioni di transizione, relazioni di cociclo. Esempi: fibrato banale, fibrato tangente, fibrato cotangente, fibrato delle p-forme. Sezioni, sistemi di riferimento locali, calcolo esplicito delle funzioni di transizione per il fibrato delle p-forme.

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30/09/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Ancora sulla funzioni di transizione per il fibrato delle p-forme. Costruzioni funtoriali di fibrati vettoriali: duale, somma diretta, prodotto tensoriale, potenze esterne. Morfismi nella categoria dei fibrati vettoriali e nella categoria dei fibrati vettoriali su una varietà fissata. Morfismo tra due fibrati vettoriali su una varietà come sezione di un fibrato, descrizione locale e regola di incollamento. Esempio: il fibrato tautologico sullo spazio proiettivo reale e su quello complesso, sezioni locali, calcolo delle funzioni di transizione, il suo spazio totale come scoppiamento, non esistenza di sezioni globali mai nulle (cioè sua non banalità).

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05/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Connessioni lineari, scrittura locale, esempi, esistenza, matrice della connessione rispetto ad una banalizzazione, trasformazione di ricalibratura per le matrici della connessione, struttura di spazio affine sullo spazio delle connessioni. La matrice della connessione per la connessione di Levi-Civita. Quadrato di una connessione: la curvatura è una 2-forma a valori endomorfismi del fibrato.

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07/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

La curvatura di un fibrato in rette è una 2-forma chiusa. Derivata covariante, e legame tra derivata covariante, parentesi di Lie, e curvatura. Connessioni indotte sul fibrato somma diretta, prodotto tensore, duale, potenza esterna, e loro curvature. Seconda identità di Bianchi. La torsione di una connessione sul fibrato tangente reinterpretata in termini della connessione che agisce sull'elemento di Casimir degli endomorfismi del tangente.

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12/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Fibrati pull-back, loro banalizzazione e funzioni di transizione, connessione indotta sul pull-back. Vari esempi: pull-back per un'applicazione costante, restrizione di un fibrato a una sottovarietà, fibrato normale ad una sottovarietà, fibrato tangente relativo e banalità del normale ristretto a una fibra di una fibrazione. Sezione di un fibrato lungo un cammino, e sua derivata covariante, trasporto parallelo, gruppo di olonomia, principio di olonomia.

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14/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Teorema di Ambrose-Singer, e qualche conseguenza. Connessioni piatte, il trasporto parallelo di una connessione piatta dipende solo dalla classe di omotopia del cammino, un fibrato piatto si banalizza su aperti semplicemente connessi con un sistema di riferimento locale parallelo. Corrispondenza tra fibrati piatti e rappresentazioni del gruppo fondamentale. Definizione di fibrato vettoriale hermitiano.

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19/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Fibrati vettoriali hermitiani, matrice della metrica relativa a una banalizzazione, accoppiamento di dualità a valori forme, connessioni compatibili con la metrica. La matrice di una connessione in una banalizzazione locale unitaria è una 1-forma a valori matrici antihermitiani. La curvatura di una connessione hermitiana è una 2-forma a valori endomorfismi antihermitiani. Il trasporto parallelo è una isometria se e solo se la connessione è compatibile con la metrica se e solo se l'olonomia della connessione è composta da matrici unitarie. Strutture quasi complesse su uno spazio vettoriale, orientabilità di uno spazio vettoriale munito di una struttura quasi complessa, complessificazione di uno spazio vettoriale.

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21/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Complessificazione di uno spazio vettoriale (munito a sua volta di una struttura quasi complessa), complessificazione della struttura quasi complessa e decomposizione dello spazio complessificato in autospazi per la struttura quasi complessa complessificata. Complessificazione del duale, decomposizione in autospazi, e isomorfismi. Decomposizione bi-graduata per l'algebra esterna della complessificazione di uno spazio vettoriale munito di struttura quasi complessa. Basi naturali associate alle costruzioni precedenti.

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26/10/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Prodotti hermitiani e prodotti scalari invarianti per la struttura quasi complessa, 2-forma fondamentale associata. Struttura hermitiana indotta sulla complessificazione, decomposizione ortogonale, relazione tra il prodotto hermitiano su uno spazio vettoriale complesso e la restrizione alla parte di tipo (1,0) della struttura hermitiana indotta sulla complessificazione. La complessificazione della 2-forma fondamentale è di tipo (1,1), scrittura in coordinate. Potenza esterna massima della 2-forma fondamentale, e sua interpretazione come forma di volume di orientazione unitaria per la metrica hermitiana indotta. Operatore * di Hodge per uno spazio vettoriale euclideo orientato, e sua complessificazione.

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02/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Varietà complesse, esempi. Funzioni olomorfe su varietà complesse. Calcolo differenziale su varietà complesse: tangente reale, struttura quasi complessa, tangente complessificato, decomposizione del tangente in parti (1,0) e (0,1), decomposizione dell'algebra esterna del cotangente complessificato, (p,q)-forme, corrispondente decomposizione del differenziale di de Rham, complesso e coomologia di Dolbeault. Applicazioni olomorfe tra varietà complesse.

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04/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Applicazioni olomorfe inducono morfismi in coomologia di Dolbeault. Connessioni di tipo (1,0) e (0,1), un fibrato vettoriale hermitiano su una varietà complessa ha un'unica connessione hermitiana con parte (0,1) prescritta. Fibrati vettoriali olomorfi, connessione di tipo (0,1) canonica su un fibrato vettoriale olomorfo, complesso e coomologia di Dolbeault per un fibrato vettoriale olomorfo, connessione di Chern di un fibrato vettoriale hermitiano olomorfo, tensore di curvatura di Chern, caso speciale dei fibrati in rette hermitiani olomorfi.

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09/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

I fibrati vettoriali olomorfi hermitiani piatti sono tutti e soli quelli che provengono da una rappresentazione unitaria del gruppo fondamentale. Esempio studiato in dettaglio: il fibrato in rette tautologico sullo spazio proiettivo complesso, e la sua struttura hermitiana indotta da un prodotto hermitiano sullo spazio vettoriale che si proiettivizza, in particolare calcolo della curvatura di Chern. Descrizione dettagliata della corrispondenza tra (1,1)-forme reali, forme hermitiane (non necessariamente semidefinite né non degeneri) sul fibrato tangente olomorfo, e 2-tensori simmetrici J-invarianti sul fibrato tangente reale. Metrica di Fubini-Study sullo spazio proiettivo.

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11/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Il pull-back di una (1,1)-forma (chiusa) positiva tramite un'applicazione olomorfa è una (1,1)-forma (chiusa) semipositiva, e positiva là dove l'applicazione è una immersione. Le potenze esterne di (1,1)-forma chiusa semipositiva, positiva in un punto, su una varietà complessa compatta forniscono classi non nulle in coomologia. In particolare i fibrati tautologici sulla spazio proiettivo sono topologicamente non banali. Definizione di forma di Kähler e varietà di Kähler, esempi e non esempi. Una varietà di Kähler compatta il cui rivestimento universale ha H^2 nullo ha gruppo fondamentale grande (cioè l'immagine del gruppo fondamentale di ogni sua sottovarietà è infinita).

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16/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Calcolo della curvatura del fibrato vettoriale tautologico sulla grassmanniana G(2,4), e della curvatura del duale del suo determinante, la quale fornisce una forma di Kähler (che corrisponde a Fubini-Study via l'immersione di Plücker). Curvatura di Chern-Ricci e sua relazione con la curvatura di Ricci (non presente sulle note, da approfondirsi con il prossimo foglio di esercizi). Operatori differenziali (lineari) su fibrati vettoriali, espressione in coordinate, simbolo principale, esempio per un operatore di ordine 2. Definizione di operatore differenziale lineare ellittico.

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18/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Spazio delle sezioni L^2 di un fibrato euclideo/hermitiano di una varietà orientata, unicità ed esistenza dell'aggiunto formale di un operatore differenziale in questo contesto, finita dimensionalità di nucleo e conucleo di un operatore differenziale ellittico su una varietà compatta e decomposizione ortogonale delle sezioni lisce come somma dell'immagine dell'operatore e del nucleo dell'aggiunto formale. Calcolo dell'aggiunto di una connessione metrica tramite l'operatore * di Hodge, operatore di Laplace-Beltrami e sua ellitticità. Spazio delle p-forme armoniche a valori in un fibrato, decomposizione e isomorfismo di Hodge per un fibrato hermitiano piatto. Enunciato della Dualità di Poincaré in questo ambito.

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23/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Operatore * di Hodge (e sua variante antilineare #) per (p,q)-forme a valori in un fibrato vettoriale hermitiano olomorfo, calcolo esplicito in coordinate unitarie. Operatori di Laplace-Beltrami per le parti (1,0) e (0,1) di una connessione metrica su un fibrato vettoriale hermitiano olomorfo, corrispondente spazio delle (p,q)-forme armoniche. Ellitticità e autoaggiunzione formale per tali operatori, conseguenza: Teorema di Isomorfismo di Hodge per fibrati vettoriali hermitiani olomorfi su una varietà complessa compatta. Dualità di Serre.

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25/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Operatore di Lefschetz e suo aggiunto, calcolo in coordinate, commutatore graduato e identità di Jacobi graduata, commutatore tra l'operatore di Lefschetz e il suo aggiunto. Identità di commutazione fondamentali della geometria kähleriana, e conseguenze: identità di Akizuki-Nakano, ellitticità dei laplaciani, uguaglianza tra i laplaciani (a meno di costanti moltiplicative) per fibrati hermitiani olomorfi piatti. Diseguaglianza di Bochner-Kodaira-Nakano, annullamento per la coomologia di Dolbeault a valori in un fibrato olomorfo hermitiano tale che il commutatore tra la curvatura di Chern e l'aggiunto dell'operatore di Lefschetz è definito positivo. Teorema di Annullamento di Akizuki-Nakano.

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30/11/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Identità di commutazione in C^n, dimostrazione delle identità di commutazione fondamentali della geometria kähleriana nel caso generale. Lemma del ddbar, decomposizione di Hodge, indipendenza dalla metrica, simmetrie di Hodge. Diamante di Hodge e sue simmetrie, i numeri di Betti dispari di una varietà compatta Kähler sono pari.

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02/12/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Come prescrivere la curvatura di un fibrato in rette olomorfo su una varietà compatta Kähler, fibrati in rette olomorfi positivi, la positività è una condizione numerica. Lo spazio delle sezioni olomorfe globali dei fibrato tautologici sullo spazio proiettivo. Fibrati in rette olomorfi effettivi, sistemi lineari, punti base. Un'applicazione olomorfa non degenere da una varietà complessa verso uno spazio proiettivo fornisce un fibrato in rette olomorfo e un sistema lineare privo di punti base. Un sistema lineare finito dimensionale di un fibrato in rette olomorfo fornisce un'applicazione olomorfa non degenere dalla varietà privata dei punti base del sistema lineare verso il proiettificato degli iperpiani del sistema lineare.

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07/12/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Il pull-back di O(1) tramite l'applicazione di Kodaira associata a un sistema lineare (privo di punti base) di un fibrato in rette olomorfo è isomorfo al fibrato in rette olomorfo, e il sistema lineare corrisponde al pull-back delle sezioni globali di O(1). Esempi: l'applicazione di Kodaira di O(1) sullo spazio proiettivo e su una sua sottovarietà, i morfismi di Veronese come applicazioni di Kodaira associate a O(m). Iniettività e immersività dell'applicazione di Kodaira in termini di proprietà di separazione delle sezioni del sistema lineare. Riepilogo: quando un sistema lineare su una varietà compatta fornisce un'immersione regolare in uno spazio proiettivo. Fibrati in rette olomorfi ampi e molto ampi, enunciato del Teorema di Chow, una varietà complessa compatta è proiettiva algebrica se e solo se ammette un fibrato in rette ampio. Enunciato del Teorema di Immersione di Kodaira: un fibrato in rette olomorfo è ampio se e solo se è positivo.

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09/12/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Fibrati in rette su superfici di Riemann associati a un punto, un fibrato in rette su una superficie di Riemann compatta è positivo se e solo se la sua prima classe di Chern ha integrale positivo. Caratterizzazione del sottospazio delle sezioni olomorfe si un fibrato vettoriale olomorfo su una superficie di Riemann che si annullano in un punto in termini delle sezioni olomorfe globali del fibrato tensorizzato con il duale del fibrato in rette associato a quel punto. Assenza di luogo base e iniettività dell'applicazione di Kodaira in termini di un appropriato annullamento in coomologia. Verifica di tale annullamento in coomologia per le potenze tensoriali sufficientemente grandi di un fibrato in rette olomorfo positivo.

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14/12/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

L'integrale della prima classe di Chern del fibrato in rette olomorfo associato ad un punto su una superficie di Riemann compatta vale 1. Condizione sufficiente per avere immersività in termini di annullamento in coomologia. La k-esima potenza tensoriale di un fibrato in rette olomorfo positivo L su una superficie di Riemann compatta di genere g è molto ampia non appena k>2g/deg L, dove deg L è l'integrale della prima classe di Chern di L. Ogni potenza tensoriale sufficientemente grande di un fibrato in rette olomorfo ampio su una superficie di Riemann compatta è molto ampia. Il numero deg L è intero. Ogni superficie di Riemann compatta privata di un suo punto è affine algebrica.

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16/12/2021 (Corso) Aula C, 14:15 - 16:00

Discussione sulla positività del fibrato canonico di una superficie di Riemann, tricotomia in varie salse: topologica, geometrico-differenziale, algebrica, aritmetica. Una superficie di Riemann di genere 1 si realizza sempre come una curva algebrica proiettiva piana di grado 3. Cenni della dimostrazione del Teorema di Kodaira in dimensione superiore.

Per le note della prima parte della lezione, cliccare qui.